Mathcenter Forum - จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ช่วยทำหน่อยค่ะ

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ทฤษฎีจำนวน (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=19)

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ช่วยทำหน่อยค่ะ

กำหนดลำดับ a1=2,a2=3,a3=7,a4=43,a5=1807 พจน์ทั่วไปคือ an+1 = an2+an+1 จงแสดงว่า { a1, a2, a3,?}

เป็นเซตที่ ai,aj เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุก i≠j

โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ?

อ้างอิง:

กำหนดลำดับ $a_1=2,a_2=3,a_3=7,a_4=43,a_5=1807$ พจน์ทั่วไปคือ $a_{n+1} = (a_n \cdot a_{n-1} \cdot ... \cdot a_1)+1$ จงแสดงว่า $\left\{\,a_1, a_2, a_3,?\right\} $

เป็นเซตที่ $a_i,a_j$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุก $i\not= j$

ใช่ค่ะ
โจทย์แบบนี้เลยค่ะ ช่วยทำหน่อยนะคะ ^_^

อ้างอิง:

ก็สมมติให้ $i<j$ ได้ว่า $a_j=(a_{j-1}a_{j-2}...a_i...a_1)+1$ เพราะ $i<j$ แสดงว่า $a_i$ ต้องโผล่ใน $a_j$ ดังสมการข้างนี้แน่นอน

จากนั้นสมมติให้ $a_i,a_j$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แสดงว่ามีจำนวนนับ $r>1$ ซึ่ง $r|a_i$ และ $r|a_j$

$r|a_j \Rightarrow r|(a_{j-1}a_{j-2}...a_i...a_1)+1$ แต่ $r|a_i$ จึงเหลือ $r|1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

นั่นคือ $a_i,a_j$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุกคู่

โจทย์เป็นแบบข้างบนค่ะ คือออกำหนดลำดับ a1=2,a2=3,a3=7,a4=43,a5=1807 พจน์ทั่วไปคือ an+1 = a(ห้อยn) ยกกำลัง 2+ a(ห้อยn) + 1 จงแสดงว่า { a1, a2, a3,…}
เป็นเซตที่ ai,aj เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุก i≠j