Selected from ก.พ.
 

ผมเลือก 2 ข้อ จาก ข้อสอบ ทุน ก.พ. ระดับ ม.ปลาย ปี 2548 มาฝากครับ

1. ให้ x เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ \(\large log_{3}(sinx)\cdot log_{2}(\frac{sinx}{3})= log_{3}9 \)
หาค่า sin(x/2)

2. (ข้อนี้ตัดมาบางส่วนครับ)
กำหนด \(\large f(x)=\sqrt{2x^{2}+x-1} \) และ \(\large g(x)= log_{2}\big(\frac{x}{1-x^{2}}\big )\) หาค่า R_f+g

ข้อแรกทำๆแล้วมันติดๆอะคับ ไว้ลองคิดใหม่ละกาน = =

ข้อ 2
\( f(x) = \sqrt{(2x-1)(x+1)} \)
\ D_f = { x| (2x-1)(x+1) ณ 0 }
D_f = \( (- infinity , -1] , [ \frac{1}{2} , infinity ) \)


g(x) = log₂ \( (\frac{x}{1-x^{2}} ) \)
\ D_g = { x| \( (\frac{x}{1-x^{2}} ) \) > 0}
D_g = (- infinity , -1) ศ ( 0 , 1 )

ดังนั้น D_f+g = D_f ว D_g
D_f+g = (- infinity , -1) ศ [\( \frac{1}{2} \) , 1 )

R_f+g = ....

มะรู้ถูกป่าวนะคับ ถ้าวิธีนี้ถูก คิด R ต่อทีนะคับ ง่วงแล้วหัวทึบ คิดมะออก ><

สำหรับข้อ 2 ตอนนี้ มีแต่คำตอบที่ guess ไว้ในใจครับ นั่นคือ

R_f+g= [1-log₂3,ฅ)

ค่าซ้ายมือ เกิดจากแทน x= 1/2 ลงไปในฟังก์ชัน
(ส่วน domain ของน้อง prachya ก็ถูกแล้วล่ะครับ)

ส่วนข้อ 1
เพราะ \( \large log_{2}(\frac{sinx}{3}) = \frac{log_{3}(sinx)-1}{log_{3}2}\) แล้วก็ จัดรูปสมการใหม่ เป็นสมการกำลังสอง ซึ่งจะพบว่าคำตอบ มันพะรุงพะรังมากเลยครับ อันนี้ก็ไม่เข้าใจเหมือนกันว่า เจตนาคนตั้งโจทย์ข้อนี้ ต้องการสื่ออะไร

มีอีกข้อนึงครับที่น่าสนใจ เป็นสไตล์ วิเคราะห์หน่อยๆ

พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ว่าเป็นจริงหรือไม่ ถ้าไม่จริงให้ยกตัวอย่างค้าน

(1) ถ้าลำดับ {a_n} และ{b_n} diverge แล้วลำดับ {a_n+b_n} diverges ด้วย

(2) ถ้า ลำดับ{a_n} ลู่เข้าหา 0 แล้ว อนุกรม\( \sum_{i=1}^{\infty}a_{n} \) converges

(3) ถ้าลำดับ {a_n} และ{a_n+b_n} converge แล้ว ลำดับ{b_n} converges

(4) ถ้า ลำดับ{a_n} เป็นลำดับที่มีขอบเขต ( มีจำนวนจริง B ซึ่ง |a_n|ฃ B ) แล้ว ลำดับ{a_n} converges

(5) ถ้าลำดับ{a_n} diverges และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วลำดับ {ka_n} diverges ด้วย

รู้สึกว่า จะเป็นจริงอยู่ข้อเดียว ที่เหลือเป็นเท็จ

ตอนท้ายที่พี่ passer-by พูดถึงนี่เกี่ยวกับ comparison test ปะครับ ที่ไว้เช็คว่า อนุกรมเป็น converg หรือ diverg โดยเอาอนุกรมที่เราทราบมาเทียบ รู้สึกคุ้นๆตาอะครับ แล้วผมอยู่ม.5 ไปขอเรียนกะพี่ม.6 เค้า อาจารย์เค้าก็อธิบายคร่าวๆ(อีกแล้ว) แฮ่ เลยไม่ค่อยแน่ใจคับว่าใช่ปาว

จะตอบคำถาม True,false 5 ข้อนี้ได้ ไม่ต้องใช้ comparison test หรอกครับ

สำหรับ 5 ข้อ นี้ เน้นที่ ลำดับ ลู่เข้า ลู่ออก มากกว่า แค่น้อง เข้าใจเรื่องลิมิตของลำดับ และอนุกรมพื้นฐานไม่กี่แบบ ก็น่าจะตอบคำถามทั้งหมดนี่ได้แล้วครับ ;)

ข้อ 1 นี่ \(\sin{\frac{x}{3}}\) หรือ \(\frac{\sin{x}}{3}\) ครับ
เศษส่วนใช้คำสั่ง frac{}{} นะครับ

โอ๊ะขอโทษครับ รีบร้อนไปหน่อยเลยไม่ได้ดูคำตอบของคุณ passer-by ข้างบน :p

ข้อ 1 ผมได้ \(\displaystyle{\sin{\frac{x}{2}}}=\displaystyle{\sqrt{\frac{1\pm\sqrt{1-3^{1-\sqrt{1+4\log_3 4}}}}{2}}}\) :eek:

ผมได้ลองคิดดูแล้วเช่นกันครับ
ข้อ 1 หาได้แต่โดเมน
ส่วนเรนจ์ยังหาวิธีไม่ออกนอกจากใช้แคลคูลัส แต่ถึกมหากาฬมาก ทำต่อไม่ไหว

ข้อ 2 ติดเป็นสมการกำลังสองเหมือนกันครับ แต่ก็ สรุปไม่ได้อยู่ดีว่า โจทย์ต้องการค่าไหน

สรุป ยังแก้ไม่ออกทั้งสองข้อเลยครับแหะๆๆ

ข้อ 1 ผมเอา Domain ที่ได้ไปแทนใน function ทั้ง 2 อะครับ แล้วเอามาบวกกัน (ผมมองเป็นกราฟหนะ)
f(x) ค่า x ช่วง [-infinity,-1) ได้ (infinity , 0) g(x) ช่วง [-infinity,-1) รวมเป็น (0,infinity) เลยได้ (0,infinity)
f(x) ช่วง [1/2 , 1) ได้ [0, 2) g(x) ช่วง [1/2 , 1) ได้ [1/2 , 1) ได้ [1-log₂3,infinity) เลยได้ (1-log₂ , infinity)
ดังนั้น R_f+g = (0,infinity) ศ (1-log₂3 , infinity) = (1-log₂3 , infinity)

ปล.คิดอะไรมะรู้เยอะแยะเลยเรา พี่ passer-by ทำมองปุ้บออก อะไรนี่ >.<
วันก่อนมึนๆ เลยหา range มะออก ตรงที่ต้องใช้ลิมิตอะครับ เพราะมันแทน 1 ตรงๆมะได้

ส่วนอีกข้อตรีโกณ ติดๆแบบนั้นแหละครับ ดูแล้วน่าเกลียดๆมากๆเลยคิดว่าผมคงทำอะไรผิด สรุปคือทำอะไรมากก่านี้มะได้ใช่ปะครับ

ไม่ได้มาตอบหรอกครับ
แต่อยากรู้ว่า ทำไมข้อสอบ ก.พ. บางข้อต้องมีข้อสอบแบบ อธิบายด้วยอ่าครับ
แล้พอดูแล้ว มันไม่รู้จะเขียนอธิบายยังไง ซึ่งเค้าก็ไม่ได้บอกว่า จงพิศูจน์ แต่ก็ให้อธิบาย แล้วไอ้คำว่าอธิบายกับคำว่า พิศูจน์ มันมีลักษณะคล้ายกันหรือป่าวครับเนี๊ยะ ใครที่เคยสอบ
ก.พ. ช่วยมาลองทำให้ดูครับ อย่างเซตเนี๊ยะ ไปไม่เป็นเลยครับ ไม่รู้จะเขียนอะไร ถ้าไปเจอแบบนี้ก็คงต้องขอเข้าห้องนำไปอ๊วกก่อนหล่ะครับ

****** ถึงพี่ M@gpie น่าจะเฉลย ก.พ. ซัก 2 ปีน่ะพี่ เฉลย ข้อสอบเอ็นเข้าใจดี๊ดีอ่ะ *******

วิธีหาเรนจ์ ของคุณ prachya ตามความคิดผม ดูเหมือนจะมีข้อผิดพลาดนะครับ
ลองพิจารณาฟังก์ชัน แบบนี้ดู
\( f(x) = \sqrt{x+2} \; \; , \; \; g(x) = \sqrt{x+3} \)
จะได้ว่า \( R_f = [ 0 ,\infty) \; \; , \; \; R_g = [0 , \infty ) \)
\( (f+g)(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{x+3} \) ได้ \( R_{f+g} = [1, \infty) \) ซึ่งมันไม่เท่ากับ \( R_f \cup R_g \)
ปัญหานี้เกิดขึ้นเพราะว่า f และ g ไม่ได้เกิดจุดต่ำสุดที่ x เดียวกันนั่นเองครับ
อ่าผมเข้าใจผิด หรือ ยังไง บอกได้นะครับ
ดังนั้น ทำให้ผมยังคงคิดไม่ออกอยู่ล่ะครับ แหะๆๆ ....


*********************
ปล. To : jae_bau อ่า ทำเฉลย ก.พ. ค่อนข้าง งานช้างครับ เพราะว่า บางข้อก็ไม่ได้หมูอย่างที่คิด โดยผมคนเดียวก็ คิดไม่ออกทุกข้อ นะคับ เลยมีปัญหาส่วนนี้อยู่เหมือนกัน ( คนเราไม่ได้เก่งที่สุดสิครับ จิงไหมเอ่ย ) ก็ ลองดูเป็นข้อๆ ไปพอจะได้ครับ มีปัญหาอะไรก็โพสในเวบบอร์ดนี้ถามก็ได้ ต้องมียอดจอมยุทธ์ มาตอบให้แน่นอน หรือถ้าเล่น msn ก็แอดเมล์มาคุยกันได้คับ ee_magpie@hotmail.com

อุย ผมก็มะค่อยปึ๊กนะครับ พี่ m@gpie มะค่อยชัวร์เหมือนกัน แต่ว่า ผมมะได้เอา R_f ศ R_g = R_f+g นะคับ

Range ที่ผมหา ของแต่ละฟังชัน ผมเอา D_f+g เข้าไปแทนหนะครับ แต่ที่พิมพ์ไปอาจจะสื่อความหมายมะค่อยชัดเจน ><

\( f(x) = \sqrt{x+2} \; \; , \; \; g(x) = \sqrt{x+3} \)

อย่างข้อนี้ก็ จะได้ว่า D_f+g = D_fวD_g = [-2,infinity)
แล้วเอา D_f+g ลงไปแทนใน f(x) กับ g(x) อะครับ
แทนใน f(x) เลยได้ Range ที่ได้จากการแทน D_f+g เป็น R_f = [0, infinity)
แทนใน g(x) เลยได้ Range ที่ได้จากการแทน D_f+g เป็น R_g = [1, infinity)
เนื่องจากผมมองแบบว่ามันเป็นกราฟอะครับ
กราฟมันจะเริ่มตั้งแต่ x = 0 ไปทางขวาจน infinity
ก็ดูว่า ที่จุดเริ่มต้นเนี่ย f(x) มันเริ่มที่ 0 แล้วเพิ่มไปเรื่อยๆ
เมื่อรวมกับกราฟ g(x) ซึ่งจุดเริ่มที่ 1 แล้วเพิ่มไปเรื่อยๆ

ผมเลยได้ R_f+g = R_f+R_g (เหมือนกราฟมันซ้อนกัน แล้วเอามาบวกกันอะครับ แต่ R_f กับ R_g มะใช่ Range ที่หาทีละ function ที่พี่ทำนะครับ เป็น Range ที่ผมแทนด้วย D_f+g มันเลยผิดนิยาม range อย่างที่พี่เข้าใจแหละ แต่ผมมะรู้จะเรียกมันว่าอะไร เลยเรียก range นั่นแหละ) เอ๊ะ ผมพูดซะยืดยาว ถ้าพูดสั้นๆก็คือ ผมเอา D_f+g ไปแทนใน \( (f+g)(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{x+3} \) แล้วแตกหาที่ละตัวอะครับ

บังเอิญว่าตัวอย่างที่พี่ยก กราฟมันเป็นช่วงเดียวอะครับ คือ x = 0 ไป infinity เลยคิดไม่ลำบากเท่าไร
ถ้าเป็นอย่างข้อที่ตั้งใน topic กราฟมันจะเป็น 2 ช่วง ก็หาเหมือนกันอะครับ จุดเริ่มกับสุดท้ายของช่วงนั้น แล้วเอา 2 ช่วงมา intersect อีกที

วิธีผมอาจจะวกไปเวียนมารึเปล่ายังไงมะรู้นะครับ ถ้าพี่มะค่อยเห็นภาพลองวาดกราฟดูละกันครับ อาจจะเข้าใจวิธีผมมากขึ้น ><

ปล. ขอโทษด้วยครับ ที่เข้ามาช้า ผมเข้ามาแว๊บๆมะได้ดูกระทู้นี้ พอดีช่วงนี้งานยุ่งมากๆเลย พรุ่งนี้สอบสอวน.ฟิสิกส์ด้วย[ไม่สิ หมายถึงวันเสาร์นี้อะครับ ตอนนี้เลยเที่ยงคืนแย้ว >< ] (ยังแทบมะได้อ่านเล้ย แบบว่าสอบเล่นๆ ใจจริงอยากลงคณิตหงะ แต่ลงมะได้ เลยประชดลงฟิสิกส์ซะ)

สงสัยเรื่อง Range ต้องใช้ computer ช่วยยืนยัน แต่น่าจะถูกแล้วนะครับ

ตอบที่ถามเล่น ๆ
(1) a_n = -b_n
(2) a_n = 1/n
(3) ถูกแล้ว
(4) a_n = sin n
(5) k = 0

อ้อ แล้วก็เรื่องวิธีคิดของคุณ prachya น่ะ ผมว่ามันแหม่ง ๆ นะ แต่คุณ Magpie ยกตัวอย่างไม่ชัด

เอาฟังก์ชันนี้สิครับ f(x) = x², g(x) = (x + 1)²

ลองหา range ของ f + g สิครับ

ถ้าเอาขอบของ range มาบวกกันจะได้ [1, infinity)
ถ้าเอามา Union กันจะได้ [0, infinity)
แต่จริง ๆ คือ [1/2, infinity)

อ่า วิธี(อันแสนจะมั่วๆ)ผม ใช้มะได้ทุกกรณีจิงๆด้วยแฮะ กับข้อที่พี่ tonocco ยกมา
แต่ที่ผมคิดกับข้อที่เป็น topic ดูแนวโน้มจากกราฟก็ไม่น่ามีปัญหาอะไรหนิครับ เพราะขอบ range ที่แทนด้วย D_f+g มันเป็นตำแหน่งที่ต่ำที่สุดแล้วอะครับ

ส่วนตัวอย่างที่พี่ยกตัวอย่างมาแล้วใช้ไม่ได้ เพราะกราฟมันขึ้นๆลงๆ (เป็นพาราโบลา) ซะงั้น แล้วจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของ function 2 ตัวมะได้อยู่ที่ x เดียวกัน เลยสรุปด้วยวิธีผมมะได้ เพราะมันจะมีปัญหาตรงช่วงระหว่าง x = -1 ถึง 0 มันบอกอะไรมะได้ แง้วว

ข้อนี้ไม่ได้ถามเล่นๆ หรอกครับ มันอยู่ในข้อสอบ part สุดท้าย รู้สึกว่าจะ 5 คะแนนมั้งครับ แค่อยากจะเปลี่ยนบรรยากาศ เอาคำถามแนววิเคราะห์มาให้ดูบ้าง เพราะส่วนใหญ่จะเห็นแต่แนว solve อย่างเดียว

ส่วนคำตอบของคุณ tunococ ก็ตรงกับของผมทุกข้อเลยครับ แถม counterexample ยัง เหมือนๆกันด้วย เพียงแต่ ข้อ 4 ผมเลือก
a_n = cos(np)