Abstract Algebra
 

1. Find all group of order 6.Prove your answer.
2. Let $\mathbb{Z}$ be a ring with usual operators.
2.1 Find all maximal ideals of $\mathbb{Z}$
2.2 $2\mathbb{Z}$ isomorphic $3\mathbb{Z}$ ?

1. $\mathbb{Z}_6$ and $S_3$

2.1 $p\mathbb{Z}$, $p$ is a prime

2.2 In what sense? Groups? or Rings?

1. $\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{3} $ order 6 ด้วยหรือเปล่าครับ ผมไม่รู้ว่ามันจะครบเมื่อไหร่อ่าครับ
2.2 น่าจะเป็นใน ring นะครับ

$\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{3}\cong \mathbb{Z}_6$ ครับ

บอกไปแล้วว่ามีสองแบบเท่านั้น แต่ตอนพิสูจน์ต้องแยกกรณีวุ่นวายพอสมควรครับ

2.2 No

สมมติว่า $f:2\mathbb{Z}\to 3\mathbb{Z}$ เป็น ring homomorphism

$f(4)=f(2+2)=2f(2)$

$f(4)=f(2\cdot 2)=f(2)^2$

ดังนั้น $f(2)^2=2f(2)$

แต่ $f(2)\neq 2$ เนื่องจาก $f(2)\in 3\mathbb{Z}$

ดังนั้น $f(2)=0$ จึงได้ว่า $f(0)=f(2)$

ซึ่งทำให้ $f$ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

แค่นี้ก็ทำให้ได้ข้อสรุปแล้ว

แต่สามารถพิสูจน์ต่อได้ด้วยครับว่า $f\equiv 0$ เท่านั้น

ขอบคุณนะครับ