+++โจทย์คละๆกันระดับมัธยม+++
 

ผมลองคัดๆข้อสอบหลายๆที่เลือกระดับกลางๆมาลองให้น้องๆมัธยมต้นลองทำกันดู ส่วนใหญ่ผมคัดแต่พวกพีชคณิต จะค่อยๆทยอยลง คาดว่าน่าจะมีสัก 20 ถึง 30 ข้อ

1.จงหา $n$ ซึ่่งเป็นเลขสามหลักที่มีคุณสมบัติว่า $n=\overline{xyz} $ และ $n=(x+y+z)^3$
(ข้อสอบของอินโดนีเซีย)

2.ถ้า $f(x-\frac{1}{x} )=x^5+\frac{1}{x^5} $ แล้วจงหาค่าของ $f(1)$
(ข้อสอบของอินโดนีเซีย)

3.จงหาค่าของ $\frac{x}{y} $ ที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{5}{\sqrt{y}}- \frac{1}{\sqrt{x}}= \frac{4}{\sqrt{x} +\sqrt{y} } $
(ข้อสอบของอินโดนีเซีย)

4.จงหาค่าของ $x,y$ ที่ทำให้เลขหกหลัก $123x4y$ หารด้วย $4$ และ $9$ ลงตัว
(ข้อสอบของอินโดนีเซีย)

5.จงหาเศษจากการหาร $7^{2012}$ ด้วย $100$
(โจทย์คัดรอบแรกของไต้หวัน 2012 IWYMIC)

6.ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็มและ $y=\frac{7x+18}{2x+3} $ เป็นจำนวนเต็มด้วยแล้ว.จงหาค่าของ $y$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและผลรวมของค่า $y$ ทั้งหมด
(โจทย์คัดรอบแรกของไต้หวัน 2012 IWYMIC)

7.กำหนดลำดับ $b_1,b_2,b_3,...$ และ $b_{n+2}=\frac{b_{n+1}+1}{b_n} $ เมื่อ $n\geqslant 1$ ถ้า $b_1=2,b_2=5$ จงหา $b_{2012}$
(โจทย์คัดรอบแรกของไต้หวัน 2012 IWYMIC)

8.กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มและ $b\not= 0$
ถ้า $a-b+c=11$ และ $b^2=ac$
จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$
(โจทย์คัดรอบแรกของไต้หวัน 2012 IWYMIC)

9.ถ้า $a_0+a_1+a_2+...+a_n=(\frac{n+2}{2})^3 $ แล้วจงหาค่าของ $\frac{1}{8a_1-7}+\frac{1}{8a_4-7}+\frac{1}{8a_7-7}+...+\frac{1}{8a_{100}-7} $
(โจทย์คัดรอบแรกของไต้หวัน 2012 IWYMIC)

10.จงหาเลขหลักหน่วยของผลบวก
10.1 $1^{2012}+2^{2012}+3^{2012}+4^{2012}+5^{2012}$
10.2 $1^{2012}+2^{2012}+3^{2012}+4^{2012}+5^{2012}+...+2011^{2012}+2012^{2012}$
(ข้อสอบ BAMO 2012) ...ข้อนี้ใช้หลักของม.ต้นก็พอทำได้ไม่ยากครับ

จะค่อยๆทยอยลงครับเหลือข้อสอบในรอบสองกับไฟนอลของคัดตัวแทนไต้หวัน

10.จงหาเลขหลักหน่วยของผลบวก
10.1 $1^{2012}+2^{2012}+3^{2012}+4^{2012}+5^{2012}$
10.2 $1^{2012}+2^{2012}+3^{2012}+4^{2012}+5^{2012}+...+2011^{2012}+2012^{2012}$

ตอบ 9 และ 0

5.$7^4 \equiv 1 (mod 100)$
$\therefore 7^{2012} \equiv 1 (mod 100)$
Answer : เศษ 1

ขอแจมหน่อยนะครับ

ข้อ2. $f(x-\frac{1}{x})=x^5+\frac{1}{x^5}$ แล้ว $f(1)=?$

ให้ $x-\frac{1}{x}=1$
$(x-\frac{1}{x})^2=1$
$(x+\frac{1}{x})^2=5$
$x+\frac{1}{x}=\pm\sqrt5$

จาก $f(x-\frac{1}{x})=x^5+\frac{1}{x^5}=(x+\frac{1}{x})^5-5(x+\frac{1}{x})^3+5(x+\frac{1}{x})$
ดังนั้น $f(1)=\pm5\sqrt5$

ไม่รู้ถูกหรือเปล่าชี้แนะด้วยนะครับ

$b_3=3$
$b_4=\frac{4}{5}$
$b_5=\frac{3}{5}$
$b_6=2$
$b_7=5$
$b_8=3$
$b_9=\frac{4}{5}$
. . .
จะเห็นว่า วนครั้งละ 5ตัว
ดังนั้น $b_{2012}=5$

ขอบคุณครับ ผมเองก็ไม่แน่ใจว่าโจทย์ต้องกำหนดว่า $x>0$ ด้วยหรือไม่
เพราะถ้าไม่กำหนดก็จะได้ 2 ค่าอย่างที่เห็นอ่ะครับ

ข้อ8.จาก $a-b+c=11$ , $b^2=ac$ และ $a,b,c\in \mathbf{I}$

$a+c=11+b$

$a^2+2ac+c^2=11^2+22b+b^2$

$b^2-22b-11^2+a^2+c^2=0$

$b=\frac{22\pm \sqrt{22^2+4(11^2-a^2-c^2)}}{2}$

$b=11\pm \sqrt{11^2+11^2-a^2-c^2}$

$\pm \sqrt{242-a^2-c^2}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม

จะเป็นจำนวนเต็มเมื่อ $a=c=11$



ปล.ไม่แน่ใจครับ

3.จงหาค่าของ $\frac{x}{y}$ ที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{5}{\sqrt{y}} -\frac{1}{\sqrt{x} }=\frac{4}{\sqrt{x} +\sqrt{y}}$

$\frac{5}{\sqrt{y}} -\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{4}{\sqrt{x} +\sqrt{y}}$

$ (5\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x} +\sqrt{y})=4\sqrt{xy}$

$5x-y=0,\,\therefore\frac{x}{y}=\frac{1}{5} $

6.ถ้า x เป็นจำนวนเต็มและ $y=\frac{7x+13}{2x+3}$ เป็นจำนวนเต็มด้วยแล้ว.จงหาค่าของ y ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

$y=\frac{7x+13}{2x+3}\Rightarrow y=3+\frac{x+4}{2x+3}$

$-x-4\leqslant 2x+3\leqslant x+4$

$-\frac{7}{3}\leqslant x\leqslant 1$

$x=-2,-1,0,1$ แต่ตรวจสอบ $x=0$ ใช้ไม่ได้ ค่า y ไม่เป็นจำนวนเต็ม

$\therefore y=1,6,4$

และถ้า $\frac{x+4}{2x+3}=0\Rightarrow x=-4$

$ y=3$

ดังนั้นค่า y ที่เป็นได้ทั้งหมดคือ 1,3,4 และ6

ที่เฉลยกันคือข้อ 3,5,7และ10 คำตอบถูกต้องแล้วครับ

ข้อ 2.นั้นเป็นไปตามที่คุณpoperเสนอว่าถ้าไม่กำหนดว่า $x>0$ จะมีค่า $x$ ทั้งสองค่า
เฉลยเขาสรุปเอาดื้อๆว่า $x+\frac{1}{x} =\sqrt{5} $ เดี๋ยวผมขอไล่ดูอีกทีว่า มันมีการล็อคค่าจากอะไรได้บ้าง

ข้อ9.
$\sum_{n = 0}^{n}=(\frac{n+2}{2})^3$

$a_n=\sum_{n = 0}^{n}a_n-\sum_{n = 0}^{n-1}a_{n-1}$

$a_n=(\frac{n+2}{2})^3-(\frac{n+1}{2})^3$

$a_n=\frac{1}{8}(3n^2+9n+7)$

$\frac{1}{8a_n-7}=\frac{1}{3n(n+3)}$

จะได้ว่า $\frac{1}{8a_1-7}+\frac{1}{8a_4-7}+\frac{1}{8a_7-7}+...+\frac{1}{8a_{100}-7}$

$=\sum\frac{1}{3n(n+3)}=\frac{1}{9}[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}]$

$=\frac{1}{9}[\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{103}]$

$=\frac{1}{9}[\frac{102}{103}]=\frac{34}{309}$


ปล.ไม่รู้บวกลบผิดรึเปล่า

ข้อ1. สัญญลักษณ์$\overline{xyz}$ หมายความว่ายังไงครับ

อ้อ.. รู้ความหมายแล้วครับ

4.จงหาค่าของ x,y ที่ทำให้เลขหกหลัก 123x4y หารด้วย 4 และ 9 ลงตัว

ให้หารด้วยครน.ของ 4กับ9 คือ 36 ได้ทั้งหมด 4 ชุดของ $(x,y)=(9,8),(8,0),(4,4)$ และ $(0,8)$

ข้อ4,8 และ 9 คำตอบถูกครับน้องอาร์ท
แต่ผมอ่านในเฉลยข้อ 4 แล้วมันแปร่งๆ
เขาเฉลยแบบนี้ว่า $a+c \geqslant 2\sqrt{ac} $
ถ้า $b>0$ แล้ว $11+b\geqslant 2b$ จะได้ว่า $0<b\leqslant 11$
ถ้า $b<0$ แล้ว $11+b\geqslant -2b$ จะได้ว่า $-\frac{11}{3} <b<0$
จะได้ว่าค่าของ $b$ เท่ากับ $-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$
เลือก $a+c=22,ac=121$ จะได้ว่า $a=b=c=11$ ซึ่งค่า $a$ มากที่สุด

$n=\overline{xyz} \ $เป็นจำนวนสามหลัก ดังนั้น (x+y+z) < 10

พบว่า x+y+z = 8 จะให้จำนวนสามหลัก = 512

$512 = (5+1+2)^3$