ฝึกโจทย์อสมการ
 

ก็เลียนเเบบจากผึกเรขาคณิตนะครับ 555
1.JPMO Let $x,y,z>0$ Prove that $$\frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}+\frac{1+zx+xy}{(1+y+z)^2}+\frac{1+xy+yz}{(1+z+x)^2}\ge 1$$
ปล.ลงโจทย์เพิ่มด้วยก็ดีครับ ผมอ่อนใน(ทุกเรื่อง)อย่างมาก

ข้อ 1 ผมยังทำไม่ได้เลย
ต่อเลยนะครับ

2. Let $x,y,z \in \mathbb{R}^+$ and $x^5+y^5+z^5=3$
Prove that $\dfrac{x^4}{y^3}+\dfrac{y^4}{z^3}+\dfrac{z^4}{x^3}\ge 3$
น่าจะสบายๆกัน

ผมไม่เเน่ใจว่าได้ป่าวอ่ะครับ เเต่มันเกรียนๆมากๆอ่ะครับ
ส่วนอันนี้เป็นวิธีที่มีคนคิดเเล้วนะครับ $$\sum_{cyc} \frac{x^{4/5}}{y^{3/5}}=\frac{x}{x^{1/5}y^{3/5}}\ge 5\sum_{cyc} \frac{x}{x+3y+1}=5\sum_{cyc} \frac{x^2}{x^2+3xy+x}\ge \frac{5(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+(xy+yz+zx)+(x+y+z)}$$
เหลือพิสูจน์ว่า $5(x+y+z)^2\ge 3(x+y+z)^2+3(xy+yz+zx+x+y+z)\leftrightarrow [(x+y+z)^2-3(x+y+z)]+[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]\ge 0$
จาก $(x+y+z)^2=3(x+y+z),(x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx)$

3.ให้ a,b,c>0 จงพิสูจน์ว่า

1) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$
2) $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$
3) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2) \leq abc(ab+bc+ca)$ จริงหรือเปล่า ?? (น่าสนใจนะครับ)

3.1) 3-degree Schur inequality
3.2) $\leftrightarrow \sum_{cyc} (a-b)^2\ge 0$
3.3) $\leftrightarrow \sum_{cyc}a^5+2abc\sum_{cyc}a^2\ge \sum_{sym}a^4b+abc\sum_{cyc}ab$ then using 5-degree Schur inequality