อัตราสัมพัทธ์ครับ ติดอยู่ 1 ข้อ
 

โจทย์:เข็มสั้นของนาฬิกามีความยาว 4 mm และเข็มยาวของนาฬิกามีความยาว 8 mm จงคำนวณว่า ณ เวลา 1:00 น. ปลายของเข็มนาฬิกาทั้งสองเคลื่อนที่เข้าหากันด้วยความเร็วเท่าไร

ขอขุดขึ้นมาตอบ
 

พิจารณาสามเหลี่ยมที่มีด้าน2ด้านเป็นเข็มยาว$(8mm)$และเข็มสั้น$(4mm)$ของนาฬิกาและมีมุมระหว่างเข็มทั้งสองเป็น$\theta $รวมทั้งด้านที่สาม(l)คือระยะห่างระหว่างปลายของเข็มนาฬิกาทั้งสอง...ใช้กฎโคไซน์ประกอบกับการหาอนุพันธ์จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของด้ าน$l$เทียบกับเวลาดังนี้
$$dl/dt=32(\frac{sin\theta} {l})(d\theta /dt)$$
และนาฬิกาจะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมระหว่างเข็มสั้นและเข็มยาวมีขนาดเท่ากับ$\frac{11\pi }{6} rad./ชั่วโมง$เสมอ
ทำให้เช่นที่เวลาบ่ายโมงนาฬิกาจะมีอัตราการเข้าหากันของเข็มสั้นและยาว$(dl/dt)$ประมาณ18.59mm./ชั่วโมงหรือ0.31mm./นาที

และลองสงสัยต่อไปทำให้ทราบว่าที่เวลาใดๆที่เข็มยาวและเข็มสั้นทำมุมกัน60องศาจะมีอัตราสัมพัทธ์การเข้าหากันหรือออกจากกันของเข็มทั้งสอ งมากที่สุดเช่นที่เวลาสิบโมงเช้าหรือเวลาบ่ายสองโมงเป็นต้น