ความสัมพันธ์ของวงกลมกับจตุรัส
 

หลานเอามาถามอีกแล้วครับ เนื้อหาคำถามเป็นอย่างนี้ครับ


เป็นไปได้ไหมที่วงกลมกับสี่เหลี่ยมจตุรัสจะมีพื้นที่เท่ากันและมีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน ถ้าเป็นไปได้เพราะอะไร ถ้าเป็นไปไม่ได้แล้วมีเงื่อนไขใดที่จะทำให้เป็นไปได้(เท่ากันทั้งสองอย่าง)

ปัญหาแรกรู้สึกว่าจะเป็นปัญหาที่เขาเรียกกันว่า "Squaring the Circle" นัยว่าเป็นสุดยอดปัญหาคลาสสิกของทางเรขาคณิตที่ให้สร้าง รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยใช้สันตรงกับวงเวียนให้เท่ากับพื้นที่วงกลมที่กำหนดให้ได้

$x^2 = \pi r^2 \Rightarrow x = (\sqrt{\pi})r$

ซึ่งเมื่อ Lindemann พิสูจน์ได้์ว่า $\pi$ เป็นจำนวนอดิศัย (Transcendental Number) เขาก็ได้พิสูจน์ต่อว่าการสร้างดังกล่าวไม่สามารถทำได้ ลองอ่านจากหน้านี้ประกอบนะครับ. Squaring the circle
ผมเองก็รู้สึกว่าจะหา E-Book ที่ชื่อว่า Squaring the circle มาเ็ก็บไว้นานแล้ว แต่ยังไ่ม่มีโอกาสได้อ่านสักครั้งเลยทีเดียว :p

สำหรับปัญหาหลังก็น่าจะเช่นเดียวกันครับ $4x = 2\pi r \Rightarrow x = (\frac{\pi}{2}) r$

เด็กออกจากห้องสอบแล้วมาถาม (สสวท ป. 6 รอบสอง) คำถามไม่ใช่อย่างนี้ แต่เนื้อหาอนุมานอย่างนี้

แล้วจะอธิบายให้เด็กเข้าใจง่ายๆอย่างไรครับ


เด็กแกบอกว่า ถ้าให้ s เป็นความยาวของด้านหนึ่งของจตุรัส และ r เป็นรัศมีวงกลมก็จะได้
2 pr = 4s .............(1)
pr² = s² ......(2)

จาก (1) และ(2) จะได้ s = 2r
ก็เขียนวงกลม(รัศมีr)แนบในสี่เหลี่ยมจตุรัส(ยาวด้านละs หรือ2r)
เห็นชัดๆว่าพื้นที่ไม่เท่ากัน

ถ้าเอาค่า s มาแทนค่าในสมการ (2) จะได้ pr² = (2r)²
= 4r²

จะได้ p = 4

ก็บอกแกว่า เออ .. น่าจะใช่ ตอบไม่ถูก
ท่านอื่นมีความเห็นอย่างไรครับ

ผมเข้าใจคำถามแล้วครับ "และ" ที่ใช้หมายถึง สอดคล้องทั้ง 2 กรณีนั่นเอง

ถ้าเป็นผมก็จะให้้เหตุผลว่าอย่างนี้ครับ.

สูตร เส้นรอบวง = $2 \pi r$ และ พื้นที่ = $\pi r^2 $ นั้นเป็นจริงเมื่อ $\pi = 3.14$ โดยประมาณ

ตรงนี้ต้องยอมรับก่อนว่าเป็นความจริงเบื้องต้นนะครับ.

หลังจากนั้นเมื่อสมมติว่าระบบสมการทั้งสองมีคำตอบ ซึ่งส่งผลทำให้ได้ว่า s = 2r และทำให้ได้ว่า $\pi = 4$ ตามลำดับ แสดงว่าเกิดข้อขัดแย้งขึ้นกับความจริงเบื้องต้นของการยอมรับว่า $\pi = 3.14$ โดยประมาณ ดังนั้น ระบบสมการทั้งสองดังกล่าว จึงไม่เป็นจริงนั่นเอง :)

ขอบคุณครับ