complex analysis : Entire functions and complex power series
 

รบกวนขอคำแนะนำในการทำโจทย์ หน่อยครับ

1. Let $p$ be a complex-valued polynomial of two real variables : $$p(z) = \sum a_{ij}x^iy^j.$$ Write $$p(z) = \sum_{j \geq 0} P_j(z) \bar{z}^j$$,where each $P_j$ is of the form $P_j(z) = \sum b_{ij}z^i$ (a polynomial in $z$). Prove tht $p$ is an entire function if and only if $0 \equiv P_1 \equiv P_2 \equiv ...$.

งงการดัชนีพหุนามมากครับ การเขียนพหุนามสองตัวแปรในรูป $z^i\bar{z}^j$ กระจายแล้วงงครับ พอมีคำแนะนำมั้ยครับ ส่วนการพรูฟขากลับ ถ้า $P_i$ เป็นฟังก์ชัน $0$ หมด แล้ว $p$ is analytic on $\mathbb{C}$ นี่น่าจะ obvious ส่วนขาไปงงจังครับ

2. Find the radius of convergence of the power serie $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$$, where $a_0 =0, a_1 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \forall n>1.$ (Hint : Multiply the serie by $z^2 + z -1) $
ข้อนี้คือเค้า hint แล้ว แต่งงว่ามัยช่วยให้ชีวิตดีขึ้นยังไง ตัว $a_n$ ก็นิยามแบบ recurrent อีก งง ดูจากตัว $a_n$ เฉยๆ น่าจะลู่ไป infinity นะครับ :aah:

3. ข้อนี้งง สิ่งที่โจทย์ถามครับ
Determine the radius of convergence on each of complex power series :
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}, \sum_{n=0}^{\infty}n! z^n.$$
For those with infinity radius of convergence, can you conclude anything about convergent at infinity ? คือ เค้าต้องการให้แทน $z = \infty$ แล้วดูการลู่เข้าใน extended complex plane (Riemann sphere) หรอครับ convergent at infinity คือ อะไร งง

ขอบคุณล่วงหน้าทุกท่านที่ช่วยเหลือครับ :please:

1. งง

2. หาสูตรทั่วไปออกมาก่อนได้ครับ แล้วค่อยหา radius of convergence

3. convergence at infinity คือให้พิจารณาการลู่เข้าเมื่อเราแทน $z$ ด้วย $\dfrac{1}{z}$ ครับ

ช่วยใบ้ข้อ 2 ต่อได้มั้ยครับ ผมเหมือนจะติด ละก็งง

Let $P_N(z) = \sum_{n=1}^N a_nz^n$ for all $N \in \mathbb{N}$.
Then let $$Q_N(z) = (z^2+z-1)P_N(z) = (z^2+z-1) \sum_{n=1}^N a_nz^n \\
= \sum_{n=0}^N a_nz^{n+2} + \sum_{n=0}^N a_nz^{n+1} - \sum_{n=0}^N a_nz^n \\
= -a_0 + (a_0 - a_1)z + (a_0 + a_1 - a_2)z^2 + (a_1 + a_2 - a_3)z^3 + ... + (a_{N-2} + a_{N-1} - a_N)z^N + a_Nz^{N+1} + a_{N-1}z^{N+1} + a_Nz^{N+2} \\
= -z + a_{N+1}z^{N+1} + a_Nz^{N+2}.$$

ผมว่า Hint มันผิดน่ะครับ ต้องคูณด้วย $z^2-z-1$