การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
 

จงแสดงว่า $sinx+sin3x+sin5x+....sin(2n-1)x=\frac{sin^2{nx}}{sinx}$
เป็นจริงสำหรับทุก $n\in \mathbb{Z}^+$ ข้อนี้เป็นวิชาตรรกศาสตร์ให้ใช้การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ครับ

** เงื่อนไข: $x\not= m\pi$ ทุกๆ $m\in \mathbb{I}$ **

ขั้นฐาน จะได้ว่า $\sin x= \displaystyle\frac{\sin^2 x}{\sin x}$ เป็นจริง

ขั้นอุปนัย ให้ $\sum_{n = 1}^{k}\sin (2n-1)x=\displaystyle\frac{\sin^2 kx}{\sin x} $ เป็นจริง $k\in\mathbb{N}$

$\begin{array}{ll}
\therefore \sum_{n = 1}^{k+1}\sin (2n-1)x&=\displaystyle\frac{\sin^2 kx}{\sin x}+\sin (2k+1)x \\

&=\displaystyle\frac{\sin^2 kx+\sin (2k+1)x\sin x}{\sin x} \\

&=\displaystyle\frac{\sin^2 kx-\displaystyle\frac{\cos 2(k+1)x-\cos 2kx}{2}}{\sin x} \\

&=\displaystyle\frac{\sin^2 kx-\displaystyle\frac{1-2\sin^2 (k+1)x -1+2\sin^2 kx}{2}}{\sin x} \\

&=\displaystyle\frac{\sin^2 kx-\sin^2 kx +\sin^2 (k+1)x}{\sin x} \\

&=\displaystyle\frac{\sin^2 (k+1)x}{\sin x}

\end{array}$