โจทย์เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นครับ
 

รบกวนช่วยอธิบายวิธีทำโจทย์ทั้ง 3 ข้อนี้หน่อยครับ

ขอบพระคุณมากๆ ครับ

1). น่าจะตอบ 32 (2 ห้าตัว) แต่ proof ยังไงไม่รู้

=====================

2). หา $m, n$ ก่อน แยกตัวประกอบ $2541$ ได้ $3\times 7\times 11^2$
ให้ $d = $ หรม ของ $m, n$ และ $m=da, n=db$
จะได้ $m^2-n^2=(m-n)(m+n)=d^2(a-b)(a+b)$

ดังนั้น $d=11$ และ $a-b=3, a+b=7$ ได้ $m=55, n=22$

จัดรูปสมการ (ค) จะได้ $ak+429k+a=3003$

$(a+429)(k+1)=3432=2^3\times 3\times 11\times 13$

จากสมการ จะได้ว่า $a>429$ และ $k>1$
จะได้ $k+1$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $2, 3, 4, 6$

ดังนั้น ผลบวกของค่า $k$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ $11$

=====================

3). $[a,b]\geqslant b$ เสมอ

ดังนั้น $\frac{1}{[a,b]}\leqslant \frac{1}{b}$

เพราะฉะนั้น $\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}\leqslant \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$

ค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ ซึ่งจะมากที่สุดเมื่อ $[a,b]=b, [b,c]=c, [c,d]=d$

ถึงตรงนี้นึกเลขเอาก็น่าจะได้ ให้ $a=1, b=2, c=4, d=8$ เพราะว่าเลขยิ่งน้อยค่าที่ต้องการยิ่งมาก

แต่ถ้าจะลองทำต่อ ให้ $d=cx, c=by, b=az, x, y, z>1$

ได้ว่า $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{az}+\frac{1}{ayz}+\frac{1}{axyz}$

ซึ่งเศษส่วนนี้จะมากที่สุดก็ต่อเมื่อ $a,x,y,z$ มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ดังนั้น $a=1, x=y=z=2$ จะได้ค่าที่มากที่สุดคือ $\frac{7}{8} $

=====================

ข้อ 3 ไม่แน่ใจเหตุผลแต่คิดว่าคำตอบถูก รบกวนชี้แนะด้วยครับ

ข้อ 1 10=4+3+3 ผมว่าข้อ1คิดง่ายๆก็เอาchoiceมาแยกตัวประกอบเอาก็ได้นะครับ

3.
กรณีที่ 1 $c \ge 4, \dfrac{1}{[a,b]}+\dfrac{1}{[b,c]}+\dfrac{1}{[c,d]} \le \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{2c} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

กรณีที่ 2 $c=3,a=1,b=2, \dfrac{1}{[a,b]}+\dfrac{1}{[b,c]}+\dfrac{1}{[c,d]} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

ค่ามากที่สุดเท่ากับ $\dfrac{7}{8}$ เมื่อ $(a,b,c,d)=(1,2,4,8)$

จริงด้วยครับ ผมไม่ได้เช็ค choice เลยหาไม่เจอ ขอบคุณครับ

ขอบคุณครับ

ขอบคุณทุกๆ ท่านมากครับ

รบกวนคุณ otakung ช่วยอธิบายช่วงนี้หน่อยครับว่าทำไม a ถึง > 429 และ k > 1
รวมถึงที่มาของค่า k หน่อยครับ (k=1,2,3,5)
ขอบพระคุณอย่างสูงครับ :please::please::please:

ขอโทษครับ ผมพิมพ์ผิด :haha:

จริง ๆ ต้องเป็น $(a+429)>429$ และ $(k+1)>1$
ข้ามตรงนี้ไปก่อนก็ได้ครับ ลองดูแบบนี้

จาก $(a+429)(k+1)=3432$

ก็แยกตัวประกอบ 3432 เป็น 2 ตัวคูณกันเลยครับ แล้วเทียบให้ตัวแรกเป็น $a+429$ ตัวที่สองเป็น $k+1$
เช่น ถ้าแยกแบบนี้ $3432 = 1*3432$ จะได้ว่า $a+429=1$ และ $k+1=3432$
ดังนั้น $a=-428, k=3431$ แต่โจทย์บอก $a$ ต้องเป็นจำวนเต็มบวก ดังนั้นคำตอบนี้ตัดทิ้งครับ

ก็ไล่แยกไปเรื่อย ๆ ให้ครบทุกคู่ที่เป็นไปได้ แล้วดูว่า $a, k$ เป็นเท่าไหร่ได้บ้าง ซึ่งต้องทำหลายรอบหน่อย

อีกทางนึงคือสังเกต 2 วงเล็บที่คูณกันอยู่ว่าวงเล็บแรกมันต้องไม่ต่ำกว่า 430 เพราะว่า $a$ ต้องมีค่าอย่างน้อย 1
วงเล็บที่ 2 ก็ต้องไม่ต่ำกว่า 2

ก็เลือกแยกตัวประกอบเฉพาะรูปแบบที่ตรงกับ 2 เงื่อนไขนี้ แล้วก็หาค่า $a, k$ ออกมาเหมือนเดิมครับ

กระจ่างแล้วครับ ขอบคุณมากๆ นะครับ