อนุกรมอนันต์
 

อนุกรมอนันต์ของ arctan x หายังไงครับ
อย่าง f(x)=arctan x f'(x)=1/(1+x^2)
... จะจัดรูปยังไงก็ไม่เห็นจะอยู่ในรูปของอนุกรมได้เลยอ่ะครับ

จาก

1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... เมื่อ |x| < 1

จะได้ว่า 1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...

ถ้ายังไม่แน่ใจก็ลองคิดกลับกันก็ได้ครับ โดยให้
S = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...
นำ x^2 คูณ จะได้ (x^2)S = x^2 - x^4 + x^6 - x^8 +...
นำมาบวกกัน จะได้ (1 + x^2)S = 1
ดังนั้น S = 1/(1 + x^2)

สงสัยจะเข้าใจที่ถามผิดแฮะ คือจะหาอนุกรมของ arctan x แบบ
f(x)=A₀ + A₁(x-c) + A₂ (x-c)² +...

คือ จัดยังไงก็ติดส่วน (1+x²)ⁿ แล้วก็จัดรูปไม่ได้น่ครับ

จาก f(x) = tan^-1 x , f(0) = 0
f'(x) = 1 / (1 + x²) , f'(0) = 1
ตรงจุดนี้จะพบว่า หากเราใช้ f'(x) = 1 / (1 + x²) ต่อไปจะทำให้การหาอนุพันธ์ ระดับลึกๆลงไป จัดรูปได้ลำบาก เราจะอาศัยอนุกรมอนันต์ มาช่วยให้การจัดรูปนี้ง่ายขึ้นดังนี้
1 / (1 + x²) = S^ฅ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ โดย |x| < 1 (แบบเดียวกับที่คุณ tunococ ได้ hint ให้แล้วนั่นแหละ :))
จึงได้ f'(x) = S^ฅ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ = 1 + S^ฅ_n=1(-1)ⁿx²ⁿ , f'(0) = 1
f''(x) = S^ฅ_n=1(-1)ⁿ2n x^{2n - 1}, f''(0) = 0
f'''(x) = S^ฅ_n=1(-1)ⁿ2n(2n - 1) x^{2n - 2} = -2 + S^ฅ_n=2(-1)ⁿ2n(2n - 1) x^{2n - 2}, f'''(0) = - 2
f ⁴(x) = S^ฅ_n=2(-1)ⁿ2n(2n - 1)(2n - 2) x^{2n - 3} , f ⁴(0) = 0
f ⁵(x) = S^ฅ_n=2(-1)ⁿ2n(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3) x^{2n - 4} = 24 + S^ฅ_n=3(-1)ⁿ2n(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3) x^{2n - 4}, f ⁵(0) = 24
................................................................................................................
f ^2k(x) = S^ฅ_n=k(-1)ⁿ2n(2n - 1)(2n - 2)...(2n - 2k + 2) x^{2n - 2k + 1} , f ^2k(0) = 0
f ^2k+1(x) = S^ฅ_n=k(-1)ⁿ2n(2n - 1)(2n - 2)...(2n - 2k + 2)(2n - 2k + 1) x^{2n - 2k} = (-1)^k(2k)! + S^ฅ_n=k+1(-1)ⁿ2n(2n - 1)(2n - 2)...(2n - 2k + 2)(2n - 2k + 1) x^{2n - 2k} , f ^2k+1(0) = (-1)^k(2k)!

\ tan^-1 x = tan^-1 0 + S^ฅ_k=0(-1)^k(2k)!x^{2k + 1}/(2k + 1)! = S^ฅ_k=0(-1)^kx^{2k + 1}/(2k + 1) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ... โดย |x| < 1