การหาปฏิยานุพันธ์ และโดเมนซึ่งปฏิยานุพันธ์เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์
 

ขอความช่วยเหลือท่านผู้รู้หน่อยนะครับ โจทย์ให้หาปฏิยานุพันธ์ของ $f(z) = \cos (3z+2)$ และให้หาโดเมนซึ่งทำให้ปฏิยานุพันธ์เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ผมย้อนกลับอนุพันธ์ตรงๆได้ $F(z) = \frac{1}{3} \sin (3z+2)$ (ถูกมั้ยเนี่ย) แต่ตอนที่จะหาโดเมนที่ทำให้ปฏิยานุพันธ์เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ยังงงๆว่าขั้นตอนต้องเป็นยังไง ผมลองหา $F'(z_0) $ เพื่อจะบอกโดเมนของ $F'(z_0)$ แต่ดันได้ $F'(z_0) =0$ คงมีอะไรผิดแน่เลย - -a แต่ถึงทำถูกก็คงได้ $F'(z) = f(z)$ อยู่ดีใช่มั้ยครับ หรือว่าตอบโดเมนของ $F(z)$ ไปเลยครับ ในนิยามบอกว่า $f$ เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุด $z_0$ ถ้ามีบาง $r > 0$ ซึ่ง $f$ มีอนุพันธ์ที่ทุกจุดในเซต $\{z \in C: |z-z_0| < r\}$ แต่ยังงงๆว่าพิสูจน์ยังไง ยังมีโจทย์อีกสองข้อ ขอรบกวนคำอธิบายข้อนี้เพื่อกลับไปทำที่เหลือด้วยครับ ขอบพระคุณครับ

โดเมนที่ทำให้เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ก็คือระนาบเชิงซ้อนทั้งระนาบนั่นแหละครับ ส่วนการหาปฏิยานุพันธ์สามารถใช้เทคนิคการอินทิเกรตของฟังก์ชันค่าจริงได้ครับ
วิธีการหาโดเมนที่ทำให้เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ส่วนใหญ่จะใช้วิธีการหา radius of convergence ครับซึ่งจะหาได้ต้องกระจายอนุกรมเทเลอร์เสียก่อน ลองไปอ่านเกี่ยวกับพวกอนุกรมเทเลอร์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่เราใช้อยู่บ่อยๆครับ พวกนี้ต้องใช้เยอะทีเดียว

ขอบคุณครับคุณ nooonuii ถามทวนนิดนะครับ กลัวเข้าใจผิด

"โดเมนที่ทำให้เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ก็คือระนาบเชิงซ้อนทั้งระนาบ" หมายถึงโดเมนที่โจทย์ข้อนี้ถามหาคือ ระนาบเชิงซ้อนทั้งระนาบเลยใช่มั้ยครับ

ส่วนการหา radius of convergence เป็นบทถัดไปใน text อจ.ผู้เขียนคงต้องการให้ใช้วิธีพื้นแสดงๆครับ แต่ตัวอย่างในหนังสือไม่ชัดเจนครับจึงนำมาถาม

ใช่ครับ เพราะฟังก์ชันโคไซน์สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในระนาบเชิงซ้อนอยู่แล้วครับ

ย้อนกลับมาอ่านคำถามตัวเองแล้ว อายจัง - -a