Invariant
 

มีอะมีบาอยู่สามชนิด A B C มี20 21 22 ตัว ตามลำดับ
ถ้าตัว A ตัวB เจอกัน จะรวมเป็นตัว C ตัวใหญ่หนึ่งตัว
B,C เจอกันก็เป็น A
และ C,A เจอกันเป็น B
ถามว่า หลังจากสะบึมๆๆ ไปเรื่อยๆ ถ้าเหลือตัวเดียว ตัวนั้นเป็นพันธุ์ใด
ทำยังไงครับ?:confused:

เหลือ B ครับ หลังจากที่ลองนั่งสะบึมอยู่ประมาณ10นาที;)
ปล.วิธีทำบึมแบบไหนก็ได้ครับแต่บึมไปบึมมาก็จะเหลือBตัวเดียว

เหลือ $B$ ชนิดเดียวครับ
วิธีทำ ให้ $A$ แต่ละตัวมีหมายเลขกำกับคือ $1$ ให้ $B$ แต่ละตัวมีหมายเลขกำกับคือ $2$ ให้ $C$ แต่ละตัวมีหมายเลขกำกับคือ $3$
$\therefore$ ผลรวมของหมายเลขทั้งหมดคือ $1\times20+2\times21+3\times22$ให้เท่ากับ $S$
พิจารณา ถ้า $A$ เจอ $B$ แล้วค่า $S$ จะลดลง $0$ ถ้า $B$ เจอ $C$ ค่า $S$ จะลดลง $4$ ถ้า $C$ เจอ $A$ ค่า $S$ จะลดลง $2$
$\therefore$ สมมติให้ $A$ เจอ $B$ เป็นจำนวน $x$ ครั้ง $B$ เจอ $C$ เป็นจำนวน $y$ ครั้ง $C$ เจอ $A$ เป็นจำนวน $z$ ครั้ง
ค่า $S$ จะเหลือ $128-0\times(x)-4\times(y)-2\times(z)$ ซึ่งเป็นจำนวนคู่ พิจารณาว่าถ้าตอนสุดท้ายจะเหลือ $A$ ค่า $S=63$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ถ้าตอนสุดท้ายเหลือ $B$ ค่า $S=126$ ซึ่งเป็นจำนวนคู่ทำให้มีโอกาสที่ตอนสุดท้ายเหลือ $B$ ชนิดเดียว
ถ้าตอนสุดท้ายเหลือ $C$ ค่า $S=189$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ $\therefore$ ตอนสุดท้ายจะต้องเหลืออะมีบาชนิด $B$ อย่างเดียว

อ้าว? ผมนึกว่าใช้ invariant ซะอีก ผมก็เลยทำไม่ได้ "- -
แต่ผมสงสัยว่าถ้ายังงี้เราไม่มีทางรู้ A กับ C เลยหรอคับ? เพราะมันใช้ mod2 นี่ครับ?

ข้อนี้ใช้ Invariant เต็มๆเลยครับ ลองดู Solution ของคุณ dektep ก็ใช้ Invariant เหมือนกัน โดยที่เมื่อผ่านไปหลายๆสเต็ปสิ่งที่ไม่เปลี่ยนคือ ความเป็นคู่ของผลรวม

ปัญหานี้เป็นตัวอย่างที่ดีตัวอย่างหนึ่งที่จะใช้ Klein Four Group ครับ โดยมีสมาชิก $A,B,C$ และ $e$ โดยที่ $e$ เป็นเอกลักษณ์ กำหนดโอเปอเรชัน $*$ ดังนี้
\[A*B=C,C*B=A,A*C=B,A*A=B*B=C*C=e\]
ดังนั้นเมื่อรวมอะมีบาไปเรื่อยๆ Invariant คือ product ทั้งหมด ซึ่งก็คือ $B$ ดังนั้นจะเหลือ $B$ เป็นตัวสุดท้ายครับ