bisector
 

Let $PQ$ be the diameter of semicircle $H$.Circle $O$ is internally tangent to H and tangent to $PQ$ at $C$.Let $A$ be a point on $H$ and $B$ a point on $PQ$ such that $AB \perp PQ$ and is tangent to $O$.
Prove that $AC$ bisects $\hat{PAB}$.

ขอรูปหน่อยครับ

จัดให้ครับ :laugh:
ปล.จริง ๆ แล้วมี 2 รูปนะครับ

ข้อนี้สวยมากเลยครับ :great:

ไม่ค่อยดีนะครับที่ขอรูปเพราะว่าโจทย์บางข้อวาดรูปได้มากกว่าหนึ่งแบบ
ถ้าข้อรูปจะทำให้คิดได้ไม่ครบทุกเคส :)
ต้องฝึกหนะครับ :laugh:

ช่วยแสดงเคสให้ครบให้ดูหน่อยสิครับ
แล้วคุณ Ipod ฝึกมาดีพอรึยัง :haha:

ดีแล้วครับ... แต่ยังดีไม่พอสำหรับไปสเปน 555+

งั้นขอรูปอีกแบบด้วยนะึครับผมไม่ค่อยเก่งอังกฤษ :haha:

ผมขอเตือนคุณ murderer หน่อยละกัน ว่าอย่าใส่เสื้อสีแดงตอนไป IMO เดี๋ยวกระทิงจะขวิดเอา 555

อะไรคือ Inversion ครับ:aah:

ขนาดคุณ Anonymous314 ยังไม่รู้แล้วผมจะรู้ไหมครับ :haha:

ลาก AB ตัดกับวงกลมที่จุด R (ดังรูป)
เนื่องจากมุม AQP = มุม PAB และมุม QAP เป็นมุมฉาก
ดังนั้น AC แบ่งครึ่งมุม PAB ก็ต่อเมื่อ AQ = QC
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ ถ้าเราแสดงให้เห็นได้ว่า AQ = QC

Solution 1
เพราะว่า H, O, E collinear จึงไม่ยากที่จะแสดงว่า E, D, Q collinear
และเนื่องจาก arc AQ = arc QR ดังนั้น มุม AEQ = มุม QAD
ทำให้สามเหลี่ยม AQE และสามเหลี่ยม DQA คล้ายกัน
AQ/QD = QE/AQ หรือ AQ^2 = (QD)(QE) = QC^2
ดังนั้น AQ = QC

Solution 2 Casey?s Theorem
โดยการใช้ Generalized Ptolemy Theorem (Casey?s Theorem)
และ Ordered 4-tuple (A, circle O, R, Q)
จะได้ว่า (AD)(RQ) + (AQ)(RD) = (AR)(QC)
แต่เนื่องจาก RQ = AQ
ดังนั้น AQ = QC

นี่มัน Israeli math olympiad 1996 นี่ครับ