แก้ไม่ออก ครั้งที่2
 

จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $$\sqrt{n+\sqrt{1996} }-\sqrt{n-1} $$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ให้ $a_n=\sqrt{n+\sqrt{1996} }-\sqrt{n-1}$

พิสูจน์ว่า $a_n$ เป็นลำดับลด

ดังนั้น $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $a_n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคือ $n$ ที่ทำให้ $a_n=1$

แก้สมการได้ $n=500$ ครับ

เอ่อแล้วลำดับลดพิสูจน์ยังไงเหรอคับ

เอ๋ะรู้สึกจะเป็ฯข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ ปี 47 รอบสอง ใช่มั้ยครับ
ถ้าจำไม่ผิด

ใช้การจัดรูปดีๆ ก็แล้วหนิครับ

$$\sqrt{n+2\sqrt{499} }-\sqrt{n-1} $$

แค่นี้ก็พยายามถอดรากออกครับ โดยสังเกตว่า

ข้างในรูทตัวหน้าจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อ บวกกันแล้วได้ n คูณกันแล้วได้ 499 ก็จะเห็นแล้วว่า n = 500 ครับ

แต่ว่า $\sqrt{n-1}$ มันถอดไม่ออกอ่ะครับ

โจทย์ไม่ได้ต้องการให้ $\sqrt{n-1}$ ถอดรากได้นี่ครับ ลองกลับไปอ่านโจทย์ดีๆ และดูความเห็นที่ผ่านมาที่ได้อธิบายอีกครั้ง ก็จะทำให้เข้าใจได้ครับ

อ่อ จริงด้วย เหอะๆๆ มันถอดออกมาแล้วลบกันได้นี่นา เหอะๆๆๆๆ ผิดอีกแล้ว :cry::cry:

จะพิสูจน์ว่า $a_{n+1}<a_n$ ทุกค่า $n$

$\sqrt{n+1+\sqrt{1996}}-\sqrt{n}<\sqrt{n+\sqrt{1996}}+\sqrt{n-1}$

$\sqrt{n+1+\sqrt{1996}}-\sqrt{n+\sqrt{1996}}<\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

$\dfrac{1}{\sqrt{n+1+\sqrt{1996}}+\sqrt{n+\sqrt{1996}}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$

$\sqrt{n}+\sqrt{n-1}<\sqrt{n+1+\sqrt{1996}}+\sqrt{n+\sqrt{1996}}$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าจริง

ขอบคุณครับ