แก้โจทย์ integral 3 ชั้นให้ดูหน่อยครับ
 

คือผมอยากรู้ว่าเฉลยข้อนี้คืออะไรครับ

จงหาค่าของ

$$\int_0^1\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2}\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2-y^2} \frac{dzdydx}{\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}}$$

โดยใช้พิกัดทรงกลม

มีรูปด้วยจะขอบคุณอย่างมากเลยครับ

ช่วยทีนะครับบบบบบบบบบ

วิเคราะห์ขอบเขตก่อน จะได้
$z=\sqrt{1-x^2-y^2}\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2+z^2=\rho^2=1\quad\Rightarrow\quad\rho=1$
$y=\sqrt{1-x^2}\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=\rho^2\sin^2\phi=1\quad\Rightarrow\quad\rho\sin\phi=1$
$x=0\,\to\,1$
วาดรูปใหม่ ถ้าวาดไม่ผิดจะได้ทรงกลมใน octant แรก
ส่วนตัว integrand คือ $\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}$ ครับ
เมื่อรวมกับ Jacobian factor $\rho^2\sin\phi$ จะเขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น
$$\int_0^{\pi/2}\!\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\!\int_0^1 \frac{\rho^2\sin\phi}{\sqrt{1-\rho^2}}\,d\rho d\phi d\theta$$ส่วนต่อจากนี้ไม่น่าจะยากแล้วครับ

ปล. อย่าใจร้อนสิครับ ตั้งแค่กระทู้เดียวก็พอแล้ว ไม่มีใครว่างตอบตลอดเวลาหรอกครับ

ถ้าผมคิดไม่ผิดจะได้ $\frac{\pi^2}{8}$

$$\int_0^1\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2}\!\!\!\int_0^\sqrt{1-x^2-y^2} \frac{dzdydx}{\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}}~(รูป A)~=~\int_0^{\frac{\pi}{2} }\!\!\!\int_0^{\frac{\pi}{2} }\!\!\!\int_0^1 \frac{\rho ^2 sin~\phi }{\sqrt{1-\rho ^2}}d\rho d\phi d\theta ~(รูป B)~=\frac{{\pi}^2}{8} $$

ขออนุญาต ถามต่อเลยละกัีนครับโจทย์มีอยู่ว่า
จงหาปริมาตรรูปทรงสามมิติที่กำหนัดโดยใช้ปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม
1รูปทรงสามมิติที่ล้อมรอบด้านบนด้วยกรวย $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ด้านล่างด้วยกรวย $z=-2\sqrt{x^2+y^2}$และด้านข้างด้วยทรงกลม $x^2+y^2+z^2$=1

ผมทำได้เป็น
$~\int_0^{2\pi }\!\!\!\int_{\frac{\pi}{4}^tan^{-1}}{\frac{-1}{2} }\!\!\!\int_0^1{\rho ^2 sin~\phi }d\rho d\phi d\theta ~$

ถูกหรือเปล่า ช่วยเช็คคำตอบทีนะครับ

ปล จากพายส่วนสี่ ถึง อาร์คแทนลบหนึ่งส่วนสองนะครับ

ปล2 คุณชายน้อยใช้โปรแกรมอะไรวาดรูปครับ อยากได้ไปใช้จังครับ

ถูกต้องครับ เยี่ยมมาก ถ้าสามารถ follow Solution โจทย์ได้ขนาดนี้นับว่าเป็นเซียนแล้วครับ... อ้อคำตอบคือ $\frac{1}{15}(5\sqrt{2}-4\sqrt{5})\pi $
ปล. ใช้ MS Word ครับ ไม่ถึงกับต้องใช้โปรแกรมขั้นสูง เพราะมันยุ่งยากในการเขียน Script ดู Source MsWord

ได้คำตอบตรงกันครับ แต่เฉลยดันเป็น $18\pi(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}})$
คุณชายน้อย ยังไม่นอนหรอครับ

เล่น msn ไหมครับ อยากAdd ไว้เป็น freind ไว้คุยเรื่องคณิตศาสตร์ครับผม

ปล เรื่องนี้ผมตื่นไปเรียนไม่ทัน เลยไม่เข้าใจ มาเริ่มทำความเข้าใจ 2-3 วันที่ผ่านมาเองครับ
ไม่ถือว่าเซียนหรอกครับ

ขอบคุณครับ : เอาไว้เปิดรับสาย m เมื่อไร จะบอกครับ เดี๋ยวต้องไปคิดสูตรขนมก่อนครับ (มีคนขอการบ้านมา ต้องรีบตอบก่อนครับ)

ต้องขอโทษที่ผมไม่ระมัดระวังในการคำนวณค่า $\phi $ ค่า $\phi $ ที่ได้ในการคำนวณคือ $\pi/4$ วัดในทิศทางตามเข็มจากแกน Z ที่เป็นบวก และ arctan(-1/2) วัดในทิศทางทวนเข็มจากแกน Z ที่เป็นบวก แต่ค่า $\phi $ ทีใช้ในการอินทิกรัล วัดในทิศทางตามเข็มจากแกน Z ที่เป็นบวก จึงทำให้คำนวณผิด เปลี่ยนคำตอบนะครับ
$$V~=~\int_{0}^{2\pi }\, \int_{\frac{\pi}{4}}^{ \pi -|arctan(\frac{-1}{2} )| }\, \int_{0}^{1}\,{\rho ^2 sin~\phi }d\rho d\phi d\theta~=~\frac{1}{15}(5\sqrt{2}+4\sqrt{5})\pi~$$
และขอยืนยันคำตอบด้วยครับ !!!Confirm...

จริงด้วยต้องมี $\pi-arctan(\frac{-1}{2})$ด้วย ก็ว่าทำไมผมได้เป็น - ออกมา

ขอบคุณมากๆครับ

ขอขอบคุณทุกท่านที่มาช่วยตอบนะครับผมอยากถามอีกนิดนึงคือผมไม่ค่อยจะรู้เรื่องเท่าไหร่อะครับช่วยอธิบาย ทีครับว่าทำไมต้องมี รูป B

รูปB คือรูปในระบบพิกัดทรงกลมครับ ตำแหน่งต่างๆจะบอกในเทอมของ $(\rho ,\phi ,\theta )$
เพื่อหาขอบเขตของการอินทิเกรตครับ
เป็นต้นว่า $\rho$ ตั้งแต่ไหนถึงไหน อะไรทำนองนั้น แต่ถ้าเราไม่ได้อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนระบบพิกัดฉากไปเป็นระบบทรงกลมหรือทรงกระบอกก็ไม่ต้องมีรูป B ก็ได้ครับ

ขอบคุณอย่างแรงเลยครับที่มาทำให้คนไม่ค่อยรู้เรื่องแคลอย่างผมเข้าใจขึ้นมาเยอะ

ผมขอถามอีกคำถามนะครับ รูป B ที่มีค่า = $\frac{\pi^2}{8}$

นี่คือค่าที่ได้จากการอินทิเกรตแล้วใช่ไหมครับเพราะผมตอนนี้ในมือไม่มีปากกาหรือดินสอเลยอะครับแต่ใจร้อนอยากทราบอ่ะครับ

ขอบคุณอย่างสูงครับแก่ผู้รู้ทุกท่านที่ช่วยสละเวลาอันมีค่ามาตอบคำถามผม

ใช่แล้วครับ