โจทย์ Inner product ครับ ช่วยแนะทีครับ
 

Let $\{ H_{1},<\cdot,\cdot>_{1}\}$ and $\{ H_{2},<\cdot,\cdot>_{2}\}$ be Hilbert Spaces.
Prove that the set of all pair $(x,y)$ with $x\in H_{1}$ and $y\in H_{2}$ is a Hilbert Space with inner product given by $$ <(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})>~=~<x_{1},x_{2}>_{1} + <y_{1},y_{2}>_{2}$$

ขอไม่แสดงวิธีทำให้ดูนะครับ

ถ้าให้เซตที่ต้องการแสดงคือเซต $H$ และมี inner product นิยามดังที่ยกมา
1. แสดงว่า "inner product" บน $H$ well-defined (ตอนนี้เรายังไม่รู้ว่ามันคือ inner product บน $H$ หรือเปล่านะครับ)
2. ตรวจสอบตามสมบัติของ inner product ตรงๆ
3. เช็คสมบัติ completeness บน $H$ โดยพิจารณา Cauchy Sequence บน $H$