ห้อง: ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
29 กรกฎาคม 2020, 00:37
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 4,151
|
|
ห้อง: เรขาคณิต
29 กรกฎาคม 2020, 00:28
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 3,216
|
|
ห้อง: คอมบินาทอริก
28 กรกฎาคม 2020, 23:57
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 3,734
|
|
ห้อง: ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น
28 กรกฎาคม 2020, 23:45
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 4,232
Let $c:=AB$ and $a:=BC$. If $s$ is the side...
Let $c:=AB$ and $a:=BC$. If $s$ is the side length of the square $BDEF$, then note that $\triangle BDE\sim \triangle EFC$, whence
$$\frac{c-s}{s}=\frac{AD}{DE}=\frac{EF}{FC}=\frac{s}{a-s}\,.$$
That...
|
|
ห้อง: ข้อสอบโอลิมปิก
28 กรกฎาคม 2020, 22:32
|
|
คำตอบ: 3
เปิดอ่าน: 5,768
This answer is a continuation of the previous...
This answer is a continuation of the previous answer by ครูนะ above. While $$P(x):=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1$$ is indeed an irreducible element of $\mathbb{Z}[x]$, it is not sufficient to prove its...
|
|
ห้อง: ทฤษฎีจำนวน
28 กรกฎาคม 2020, 20:17
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 2,723
|
|
ห้อง: พีชคณิต
28 กรกฎาคม 2020, 19:48
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 2,922
Let $t:=\sqrt[3]{2}$. We note that $t^3=2$,...
Let $t:=\sqrt[3]{2}$. We note that $t^3=2$, so
$$12\sqrt[3]{2}-15=12t-15=4t^4+4t-15\,.$$
We make an Ansatz that
$$4t^4+4t-15=(2t^2+at+b)^2$$
for some rational numbers $a$ and $b$. Thus, the...
|
|
ห้อง: คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
28 กรกฎาคม 2020, 19:23
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 4,881
|
|
ห้อง: Calculus and Analysis
28 กรกฎาคม 2020, 18:37
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 3,898
Fix $a>0$. Let...
Fix $a>0$. Let $f_a(x):=\dfrac{1}{\big(a^{\sin(x)}+1\big)\,\big(a^{\cos(x)}+1\big)}$ for all $x\in\mathbb{R}$. Observe...
|
|
ห้อง: ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย
28 กรกฎาคม 2020, 18:06
|
|
คำตอบ: 4
เปิดอ่าน: 4,247
Note that $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$. ...
Note that $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$. Therefore,
$$\lambda(180)=\operatorname{lcm}\big(\phi(2^2),\phi(3^2),\phi(5)\big)=\operatorname{lcm}(2,6,4)=12\,.$$
Here, $\operatorname{lcm}$ is the...
|
|
ห้อง: ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
28 กรกฎาคม 2020, 03:14
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 9,721
From the identity...
From the identity $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)$, we know that $a^3+b^3+c^3=3abc$ if $a+b+c=0$. In...
|
|
ห้อง: ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น
28 กรกฎาคม 2020, 03:00
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 4,854
|
|
ห้อง: ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย
28 กรกฎาคม 2020, 02:56
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 3,828
Observe that $y=m(x-5)+3$ is an equation of a...
Observe that $y=m(x-5)+3$ is an equation of a line passing through a fixed point $P(5,3)$. When $m=0$, this line is a horizontal line given by the equation $y=3$. From the information given by the...
|
|
ห้อง: คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
28 กรกฎาคม 2020, 02:22
|
|
คำตอบ: 3
เปิดอ่าน: 6,708
Let $S^p_n$ denote the sum...
Let $S^p_n$ denote the sum $1^p+2^p+3^p+\ldots+n^p$ for each positive integer $n$ and for each nonnegative integer $p$. Observe...
|
|
ห้อง: เรขาคณิต
28 กรกฎาคม 2020, 00:36
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 1,944
Observe that $\angle APQ$ and $\angle ACQ$ are...
Observe that $\angle APQ$ and $\angle ACQ$ are subtended by the same arc of the circumcircle of the quadrilateral $APCQ$. Consequently, $$\angle ACQ=\angle APQ=\angle APB+\angle BPQ\,.\tag{*}$$
On...
|
|
ห้อง: ทฤษฎีจำนวน
27 กรกฎาคม 2020, 22:16
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 4,036
|
|
ห้อง: อสมการ
27 กรกฎาคม 2020, 21:23
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 3,772
If $a^2+b^2\leq c^2$, then $M=c$. This is...
If $a^2+b^2\leq c^2$, then $M=c$. This is because
$$ax+by+cz\leq \sqrt{a^2+b^2}\,\sqrt{x^2+y^2}+cz\leq c\,\sqrt{x^2+y^2}+cz$$
due to the Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Inequality. Thus,
$$ax+by+cz\leq...
|
|
ห้อง: Calculus and Analysis
27 กรกฎาคม 2020, 21:01
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 3,447
Consider...
Consider $f(x):=\displaystyle\int_0^\infty\,\dfrac{\exp(-t)-\exp(-xt)}{t}\,\mathrm{d}t$, where $x> 0$. Observe that
$$f'(x)=\int_0^\infty\,\frac{\partial}{\partial...
|
|
ห้อง: พีชคณิต
27 กรกฎาคม 2020, 20:51
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 2,572
The case $c=0$ is a counterexample. All three...
The case $c=0$ is a counterexample. All three roots of this cubic polynomial are rational numbers (i.e., they are all zero).
But let's ignore that, since the asker may not count multiplicities of...
|
|
ห้อง: คอมบินาทอริก
27 กรกฎาคม 2020, 20:29
|
|
คำตอบ: 1
เปิดอ่าน: 2,862
Define an operator $\Delta$ by
$$\Delta...
Define an operator $\Delta$ by
$$\Delta p(x):=p(x+1)-p(x)$$
for all polynomials $p(x)\in\mathbb{C}[x]$. Prove that, if $p(x)\in\mathbb{C}[x]$ has degree $n$, then $$\Delta^{n+1}p(x)=0\tag{*}\,.$$ ...
|
