[passer-by]

คุณ Warut แถมสูตร summation ให้เสร็จสรรพเลยนะครับ

สำหรับข้อ 12 ผมเอามาจาก การบ้านใน Review (Chapter 0) ของวิชา Functional Analysis ครับ

Alternative Solution:

(1)
Let $ u_0 = 1+ \epsilon \quad \exists \epsilon > 0 $

It's easy to show that $ u_n \geq 1+ \epsilon(1+ \epsilon)^n $ by induction

Since $\frac{1}{u_n} \leq \frac{1}{\epsilon(1+ \epsilon)^n} $ , it follows immediately from Comparison test and geometric series that $ \sum \frac{1}{u_n} $ converges

(2)

It's easy to show that $ u_n $ is positive increasing sequence.

By trying to compute partial sum of first 3-4 terms, we can guess that $$ \sum_{n=0}^N \frac{1}{u_n} = 1- \frac{1}{\prod_{i=0}^N u_i} $$ The above equation can be proved easily by induction on $ N $

By letting $ N \rightarrow \infty $ , it follows that $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{u_n}=1 $

NOTE :
ถ้าสังเกตดีๆ series ที่ให้มาในข้อ 12.2 ก็คือ ความพยายามที่จะ represent 1 ในเทอมของ ผลรวม(อนันต์) ส่วนกลับ ของจำนวนนับ (infinite sum of reciprocal of natural number)
โดยเริ่มต้นจาก $ 1= \frac{1}{2}+\frac{1}{2} $
จากนั้นก็ extend ผลบวกออกไป โดยเลือกตัวที่ส่วนใกล้เคียง ส่วนของตัวหลังมากที่สุด ซึ่งก็คือ $\frac{1}{3} $ ดังนั้น $ 1= \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} $

แล้วก็ extend ผลบวกออกไปเรื่อยๆ โดยมองที่ $ \frac{1}{6} $ แล้วเลือกตัวที่ ส่วนใกล้เคียง 6 มากที่สุด ซึ่งก็คือ $ \frac{1}{7} $ ดังนั้น $ 1= \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42} $ จากนั้นก็ repeat ขั้นตอนแบบเดิมไปเรื่อยๆครับ

จากการพิสูจน์ข้างต้นยืนยันได้ว่า infinite series ที่เราสร้างนี้ ลู่เข้าครับ