ALGEBRA NO.11
11. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง
$$f(xy+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2.....(*)$$
สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$
แทน $x=-1,y=1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(0)=f(1)f(-1)-f(-1)-1+2..........(1)$
แทน $x=1,y=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(0)=f(-1)f(1)-f(0)+1-2..........(2)$
จาก $(1)$ และ $(2)$ เราจะได้ว่า
$-f(-1)-1=-f(1)+1$
$f(1)=f(-1)+2..........(3)$
แทน $(3)$ ใน $(1)$ จะได้ว่า
$f(0)=(f(-1)+2)f(-1)-f(-1)-1+2=f(-1)^2+f(-1)+1..........(4)$
แทน $x=y=0$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(1)=f(-1)+2=f(0)^2-f(0)+2$
$f(-1)=f(0)^2-f(0)..........(5)$
แทน$(5)$ใน$(4)$ จะได้ว่า
$f(0)=(f(0)^2-f(0))^2+f(0)^2-f(0)+1$
$0=f(0)^4-2f(0)^3+2f(0)^2-2f(0)+1$
$0=(f(0)-1)^2(f(0)^2+1)$
แต่ $f(0)^2+1>0$
จะได้ว่า $f(0)=1$
พิจรณา $(5)$
$f(-1)=f(0)^2-f(0)$
$f(-1)=0$
แทน $x=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(-y+1)=-y+2$
นั่นคือ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนจริง $x$