ข้อ 2. จากทฤษฎีบททวินาม $$(a+b)^n = \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$$
ดังนั้น $$(1+x)^{2n} = \sum_{r = 0}^{2n}\binom{2n}{r}1^{2n-r}x^r$$ถ้า r = n จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n}{n} $
$$x(1+x)^{2n-1} = x\sum_{r = 0}^{2n-1}\binom{2n-1}{r}1^{2n-1-r}x^r$$ถ้า r = n-1 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n-1}{n-1} = \binom{2n-1}{n}$
$$x^2(1+x)^{2n-2} = x^2 \sum_{r = 0}^{2n-2}\binom{2n-2}{r}1^{2n-2-r}x^r$$ถ้า r = n-2 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{2n-2}{n-2} = \binom{2n-2}{n}$
...
$$x^n(1+x)^{n} = x^n \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}1^{n-r}x^r$$ถ้า r = 0 จะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{n}{0} = \binom{n}{n}$
ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ คือ $\binom{n}{n}+\binom{n+1}{n}+...+\binom{2n-1}{n}+\binom{2n}{n} = \binom{2n+1}{n+1} $
(โดย Pascal หรือ Chu Shih-Chieh's Identity)