อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ warut:
คำถามข้อต่อไปเป็นภาคต่อของข้อ 21. ที่ผมเพิ่งทำเสร็จไปหมาดๆนี่แหละครับ
22. จงหาค่าของ $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 $$
|
ข้อนี้จะใช้ผลจากข้อ 21. ทำดังนี้ก็ได้ครับ
จาก $$ \frac{\pi}{2}= \lim_{n\to\infty} \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n)^2}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1))^2 (2n+1)} $$ และ $$ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} = \frac{1}{2^{2n}} { 2n \choose n } $$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{4n}}{2n+1} {{ 2n \choose n }}^{-2} =\frac{\pi}{2} $$ เนื่องจาก $$ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 \right) \left( \frac{2^{4n}}{2n+1} {{ 2n \choose n }}^{-2} \right) =1$$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 =\frac{1}{\pi} $$