ไม่เป็นไรครับ งั้นเดี๋ยวผมเล่าให้ที่ไปที่มา เป็นฉากๆเลยแล้วกันนะครับ
จุดเริ่มต้นของคำถามข้อนี้ ผมได้มาจาก original question ที่ถามประมาณว่า
ถ้ามีลูกอม 5 รส แต่ละรสมีจำนวนชิ้นเท่าๆกัน (equal proportion) ถ้าสุ่มหยิบมา 5 ชิ้น หาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกอม 2 รสเท่านั้น
ซึ่งวิธีคิดข้อนี้ เขาเฉลยมาว่า ขั้นแรก คือเลือก รส 2 รสนั้นก่อน ได้ $ {5 \choose 2}$ วิธี สมมติได้ รส A,B
จากนั้นก็พิจารณาว่า 5 ชิ้นที่หยิบได้ แล้วมี 2 รสนี้เท่านั้น จะมี $ 2^5-2 $ วิธี (2 ตัวแรกมาจาก 2 รสที่ว่าครับ ส่วน 2 ตัวหลัง ก็คือตัดกรณีที่ได้รส A หมด หรือ รส B หมด ออกไป)
ดังนั้น ความน่าจะเป็นข้อนี้เลยตอบ $ \frac{{5 \choose 2}(2^5-2)}{5^5}$
จากนั้น ผมก็เลยลองทำอีกแบบนึง โดยสมมติว่าแต่ละรสมีจำนวน n ชิ้นเท่าๆกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นก็คือ $$ \frac{{5 \choose 2}\sum_{i=1}^4 {n \choose i}{n \choose 5-i}}{{5n \choose 5}} $$
ซึ่งปรากฏว่า คำตอบมันไม่ตัดกันเป็นค่าคงที่ครับ แต่เมื่อ take limit $ n \rightarrow \infty $ ก็จะได้ค่าเท่ากับคำตอบข้างบน
ผมก็เลยสงสัยว่า มันมีนัยแฝง อะไร ถึงมี limit มาเกี่ยวข้อง จนกระทั่งตอนนี้ ผมคาดว่า มันน่าจะเหมือนในวิชาสถิติเบื้องต้นตอนปี1 มั้งครับ ที่เราสามารถใช้การแจกแจงทวินาม มา approx. การแจกแจงแบบ hypergeometric เมื่อ n มีค่ามาก
NOTE :ถ้าสังเกตดีๆ ที่ผมอธิบายมาข้างต้น เป็น special case เมื่อแทน k= 5 ในโจทย์ที่ผมให้มาครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|