10. จงหาผลคุณของ $(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{5^2})(1-\frac{1}{6^2})...(1-\frac{1}{49^2})(1-\frac{1}{50^2})$
เรามาลองทำแบบสั้นๆ เพื่อหารูปแบบดูก่อน
เนื่องจากโจทย์มี 49 จำนวนซึ่งเป็นจำนวนคี่ ดังนั้นเราจะลองจำนวนน้อยๆดูก่อนสัก 5 จำนวน
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{5^2})(1-\frac{1}{6^2})$
$= \dfrac{2^2-1}{2^2} \times \dfrac{3^2-1}{3^2} \times \dfrac{4^2-1}{4^2} \times \dfrac{5^2-1}{5^2} \times \dfrac{6^2-1}{6^2} $
$= \dfrac{(2-1)(2+1)}{2 \times 2} \times \dfrac{(3-1)(3+1)}{3\times3} \times \dfrac{(4-1)(4+1)}{4\times4} \times \dfrac{(5-1)(5+1)}{5\times5} \times \dfrac{(6-1)(6+1)}{6\times6} $
$= \dfrac{(1 \times3)}{2 \times 2} \times \dfrac{(2 \times4)}{3\times3} \times \dfrac{3 \times5)}{4\times4} \times \dfrac{(4\times6)}{5\times5} \times \dfrac{(5\times7)}{6\times6} $
$ = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{6+1}{6}$
ดังนั้น $(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{5^2})(1-\frac{1}{6^2})...(1-\frac{1}{49^2})(1-\frac{1}{50^2})$ ก็จะได้
$ = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{50+1}{50}$
$ = \dfrac{51}{100}$
เอาง่ายๆอย่างนี้แหละ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า
