[warut]

ให้ $ \{ a_n \} $ เป็นลำดับที่มี $ a_1=1, a_2=4 $ และ $ a_n = 4a_{n-1} - a_{n-2} $ เมื่อ $n \ge 3$

โดยอาศัยเทคนิคในการแก้ difference equation เราจะพบว่า สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ $$ a_n = \frac{1}{2 \sqrt 3} \left( (2 + \sqrt 3)^n - (2 - \sqrt 3)^n \right) $$ จงหาค่าของ $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{ a_{ 2^n} } $$