[กิตติ]

อีกวิธีหนึ่ง...ผมขี้เกียจจำสามเหลี่ยมปาสกาล
$a+b+c=0$
$(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) = 0$
$a^2+b^2+c^2 =-2(ab+ac+bc) = -2abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = \frac{(a^2+b^2+c^2)}{-2} $
$(a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+3abc(a+b+c)( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3abc = 0$
$a^3+b^3+c^3=3abc$
$(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)= a^5+b^5+c^5+(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\right\}- (abc)^2\left\{\,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right\}$
$3abc\left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} = a^5+b^5+c^5+\frac{abc}{2} \left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} $
$a^5+b^5+c^5 = \frac{5}{2}abc \left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} $

$k = \frac{5}{2}$

อีกวิธีหนึ่งที่น้องเนสได้เฉลยไว้ในกระทู้ตะลุยโจทย์ม.ต้น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จาก $a+b+c=0$ จะได้ $a^3+b^3+c^3=3abc$
คูณด้วย $a^2+b^2+c^2$ ทั้งสองข้าง จะได้
$(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)=3abc(a^2+b^2+c^2)$ ซึ่งจะได้
ู$a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)=3abc(a^2+b^2+c^2)$__(*)
จาก $a+b+c=0$ จะได้ $a+b=-c$ ยกกำลังสอง
จะได้ $a^2+b^2+2ab=c^2$ ในทำนองเดียวกันจะได้
$a^2+b^2=c^2-2ab$
$b^2+c^2=a^2-2bc$
$c^2+a^2=b^2-2ca$
นำไปแทนใน (*)
จะได้ว่า
$a^5+b^5+c^5+a^5-2bca^3+b^5-2acb^3+c^5-2abc^3=3abc(a^2+b^2+c^2)$
$2(a^5+b^5+c^5)-2abc(a^2+b^2+c^2)=3abc(a^2+b^2+c^2)$
นั่นคือ $a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$
เพราะฉะนั้น $k=\dfrac{5}{2}$