[~ArT_Ty~]

อสมการ

1. กำหนดให้ $s_1,s_2,...,s_n$ เป็นจำนวนจริงบวกหรือ 0 ให้ $\sigma=s_1+s_2+...+s_n$

และ $\sigma_k=\sigma - (n-1)s_k$ สำหรับทุกค่า $k=1,2,...,n$ จงแสดงว่าถ้า $\sigma_1,\sigma_2
,...,\sigma_n\geqslant 0$

แล้ว $s_1s_2...s_n\geqslant \sigma_1 \sigma_2 ... \sigma_n$

2. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนนับ และ $n\geqslant 2$ จงแสดงว่า

$$n((n+1)^{\frac{1}{n}}-1)\leqslant 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\leqslant n-(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}$$

ทฤษฎีจำนวน

1. จงหาผลบวกของจำนวนนับ $k$ ทุกจำนวนที่น้อยกว่า 100 และ $48\left |k^3+47\,\right. $

2. จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ $2^k$ หาร $15^{2^{2010}}-1$ ลงตัว