[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ต่อด้วย

พีชคณิต

1. กำหนดให้ $P(x)=x^6-x^4-x^2-1$ ให้ $a,b,c,d$ เป็นรากของสมการ $x^4+x^3-x^2-1=0$

จงหาค่าของ $P(a)+P(b)+P(c)+P(d)$

ข้อนี้น่าต้องการวัดความรู้เรื่องสมการพหุนาม โดยเฉพาะการใช้Vieta's Formula....แต่ผมอ่านแล้วยังไม่เข้าใจ
ก็ลองใช้วิธีถึกๆธรรมดา หาคำตอบดูก่อน ส่วนวิธีแบบระดับเข้าค่ายเดี๋ยวคงมีคนเข้ามาแนะ
จากโจทย์ให้หา $P(a)+P(b)+P(c)+P(d)$
ลองจัดพจน์ดูใหม่ จัดได้เป็น
$(a^6+b^6+c^6+d^6)-(a^4+b^4+c^4+d^4)-(a^2+b^2+c^2+d^2)-$$4$
กลับมาดูสมการ$x^4+x^3-x^2-1=0$
ลองแทน$x=1$ จะได้ค่าเป็น$0$ แสดงว่ารากหนึ่งคือ$x-1$
$x^4+x^3-x^2-1=(x-1)(x^3+2x^2+x+1)$
ให้$d=1$.....ก็เหลือแค่หารากจาก $x^3+2x^2+x+1$
ให้$x^3+2x^2+x+1=(x-a)(x-b)(x-c)$
จะได้ว่าจากvieta formula
$a+b+c = -2 \quad , ab+bc+ca=1 \quad , abc = -1 $

$a^2+b^2+c^2 =(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) = 2$

$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{ab+bc+ca}{abc} = -1 $

$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3abc(a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}) +3abc $
$= -8-3-3(-1)(-2)(-1) = -8-3+6 = -5$

$a^4+b^4+c^4= (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 =(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) = 1-2(-1)(-2) = -3$

$a^4+b^4+c^4= 4-2(-3) =10$

$a^6+b^6+c^6+ = (a^3+b^3+c^3)^2-2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$

$a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 =(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)-(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3\right\} $
$= (-3)(1)-(-1)^2\left\{\,(-1)(-2)-3\right\} $
$= -2$

$a^6+b^6+c^6 = 25-2(-2) =29$

$P(a)+P(b)+P(c)+P(d)= (29+1)-(10+1)-(2+1)-$$4$$ = 30-18 =12$

วิธีการถึกไปหน่อย เดี๋ยวรอยอดฝีมือมาสอนเคล็ดวิชาเพิ่มแล้วกันครับ
ถ้าทำตรงไหนผิด ก็บอกกันด้วยครับ

ขอบคุณคุณOnasdiที่ชี้จุดพลาดให้ครับ