อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee
ขอบคุณครับ อีกข้อก่อนนอนครับ
จงหาผลบวก $\sum_{k = 1}^{n}\frac{4k}{4k^4+1} $
|
จากเอกลักษณ์ $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$
$k^4+\dfrac{1}{4}=k^4+\dfrac{4}{2^4}$
$~~~~~~~~=(k^2-k+\dfrac{1}{2})(k^2+k+\dfrac{1}{2})$
$\dfrac{4k}{4k^4+1}=\dfrac{k}{k^4+\frac{1}{4}}$
$~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{(k^2+k+\frac{1}{2})-(k^2-k+\frac{1}{2})}{(k^2-k+\frac{1}{2})(k^2+k+\frac{1}{2})}\Big)$
$~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{k^2-k+\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{k^2+k+\frac{1}{2}}\Big)$
ให้ $a_n=\dfrac{1}{n^2-n+\frac{1}{2}}$
จะได้ $a_{n+1}=\dfrac{1}{n^2+n+\frac{1}{2}}$
ดังนั้น
$\dfrac{4k}{4k^4+1}=\dfrac{1}{2}(a_k-a_{k+1})$
จึงได้ว่าผลบวกนี้เป็น telescopic sum