อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung
เพิ่มเติม
2.จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีฟังก์ชันผกผันหรือไม่ จงพิสูจน์ (8 คะแนน)
2.1 ให้$\alpha (x)$ = $x^2$ ; $x\geqslant 0$
= $-x^2$ ; $ x<0$
2.2 ให้$ \alpha (x)$ = $x$ ; x เป็นจน.คู่
= $2x$ ; x เป็นจน.คี่
|
การแสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันหรือไม่ก็เท่ากับพิสูจน์ว่าเป็น 1-1 func.
2.1) สังเกตว่า ถ้า $x\geqslant 0$ แล้ว $\alpha (x)=x^2\geqslant 0$ และถ้า $x<0$ แล้ว $\alpha (x)=-x^2<0$
พิจารณา $k\geqslant 0$ จะได้ว่ามี l เพียงตัวเดียวที่ $k=l^2=\alpha (l)=\alpha (\sqrt{k} )$
ในทำนองเดียวกันกับ $k<0$ จะได้ว่ามี l เพียงตัวเดียวที่ $k=-l^2=\alpha (l)=\alpha (\sqrt{k} )$
นั่นคือ $\alpha (x)$ เป็น 1-1 func. ก็คือเป็นฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันผกผัน
2.2) เห็นอย่างงี้ก็ยกตัวอย่างง่ายๆค้านได้เลย เช่น $ \alpha (2)=2=\alpha (1)$ นั่นคือ $\alpha (x)$ ไม่เป็น 1-1 func. คือไม่มีฟังก์ชันผกผัน
หรือจะเอาแบบเต็มๆเลยก็คือ ให้ k เป็นจำนวนเต็มคี่ แสดงว่า 2k เป็นจำนวนคู่
$\therefore \alpha (2k)=2k$ และ $\alpha (k)=2k$ เห็นได้ชัดว่าไม่เป็น 1-1 func. (และเพราะ k เป็นคี่ เลยเป็น 0 ไม่ได้ $2k\not= k$)