อ้างอิง:
14) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ เรานิยามให้ $h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
จงพิสูจน์โดยไม่ใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $n+h(1)+h(2)+h(3)+...+h(n-1)=nh(n)$ สำหรับ n=2,3,4,...
|
$n+h(1)+h(2)+h(3)+...+h(n-1)=n+[1+(1+\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+...+(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1})$
$=n+[1\cdot(n-1)+\frac{1}{2}(n-2)+\frac{1}{3}(n-3)+...+\frac{1}{n-2}(n-n+2)+\frac{1}{n-1}(n-n+1)]$
$=n+[n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})-(1+1+1+...+1)(n-1 ตัว)]$
$=n+n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})-n+1$
$=1+n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})$
$=n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})$
$=nh(n)$