[nooonuii]

ถ้าอนุญาตให้มีแค่ลำดับเรขาคณิตกับพหุนามก็สามารถสร้างได้อนันต์แบบครับ

$a_n=\dfrac{1}{3(r-1)^3}\Big[8r^{n-1}+4(3r^3-11r^2+15r-9)-4(r-1)(r-2)(r-3)n+2(r-1)^2(r-3)n^2\Big]$

เมื่อ $r\neq 0,1$

ตัวอย่างสำหรับกรณี $r$ น้อยๆก็อย่างเช่น

$a_n=\dfrac{1}{81}\Big[(-2)^{n+2}+428-240n+90n^2\Big]$

$a_n=\dfrac{1}{3}\Big[(-1)^{n}+19-12n+4n^2\Big]$

$a_n=\dfrac{1}{3}\Big[2^{n+2}+4-2n^2\Big]$

$a_n=3^{n-2}+3$

$a_n=\dfrac{1}{81}\Big[2^{2n+1}+268-24n+18n^2\Big]$

วิธีคิดก็ไม่ยากอย่างที่คิด เพียงแค่สมมติว่า

$a_n=ar^n+b+cn+dn^2$

แทนค่า $n=1,2,3,4$ แล้วก็แก้ระบบสมการเชิงเส้น $4$ ตัวแปรครับ