อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y
พอดีเพื่อนถามมาแล้วผมก็คิดไม่ออก 
จงหาค่าของ
$$\frac{1}{11}-\frac{1}{1100}+\frac{2}{111}-\frac{2}{111000}+\frac{3}{1111}-\frac{3}{11110000}+........$$
ช่วยทีนะครับ  |
ยาวไปหน่อย
$\frac{1}{11}-\frac{1}{1100}+\frac{2}{111}-\frac{2}{111000}+\frac{3}{1111}-\frac{3}{11110000}+...$
$=\frac{1}{11}(1-\frac{1}{100})+\frac{2}{111}(1-\frac{1}{1000})+\frac{3}{1111}(1-\frac{1}{10000})+...$
$=\frac{9}{100}+\frac{2\times9}{1000}+\frac{3\times9}{10000}+...$
$=\frac{9}{100}(1+\frac{2}{10}+\frac{3}{100}+...)$
ให้ $S =\frac{9}{100}(1+\frac{2}{10}+\frac{3}{100}+...)$
$S =\frac{9}{100}(1+\frac{2}{10}+\frac{3}{100}+...)$ $..... (1)$
$\frac{S}{10}=\frac{9}{100}(\frac{1}{10}+\frac{2}{100}+...)$ $.....(2)$
$(1)-(2);$ $\frac{9S}{10}=\frac{9}{100}(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+...)$
$\frac{9S}{10} = \frac{9}{100}\times\frac{10}{9}$
$S = \frac{1}{9}$
