ลองเขียนลำดับ
$a_1,a_2,a_3,...,a_n,...,L$
เราต้องการให้ค่าของลำดับเข้าใกล้ $L$ ให้มากที่สุด เมื่อ $n$ มีค่าเยอะๆ
ก็มาดูว่าจะทำอย่างไรให้สามารถสร้างนิยามที่รัดกุมของแนวคิดอันนี้
เราก็พิจารณาช่วงเล็กๆในรูป $(L-\epsilon,L+\epsilon)$ ซึ่งมี $L$ อยู่ข้างใน
ยิ่ง $\epsilon>0$ มีค่าน้อยเท่าไหร่ช่วงนี้ก็จะเข้าใกล้ค่า $L$ มากเท่านั้น
จากที่เราต้องการให้ลำดับเข้าใกล้ $L$ แสดงว่า เมื่อ $n$ มีค่าเยอะๆ
ค่าของลำดับ $a_n$ ควรจะตกเข้าไปอยู่ในช่วง $(L-\epsilon,L+\epsilon)$
และเมื่อตกเข้าไปอยู่ในช่วงนั้นแล้วไม่ควรกระโดดออกมาอีก
ดังนั้นไม่ว่าเราจะกำหนดให้ $\epsilon>0$ มีค่าเท่าไหร่ก็ตาม (จริงๆแล้วสนใจเฉพาะ $\epsilon$ มีค่าน้อยๆ)
เมื่อเรามองที่ช่วง $(L-\epsilon,L+\epsilon)$ จะต้องมี $N$ ซักค่านึง
ที่ทำให้ $a_N\in (L-\epsilon,L+\epsilon)$ และนับตั้งแต่ $a_N$ เป็นต้นไป
$a_n\in (L-\epsilon,L+\epsilon)$ ทั้งหมด (นั่นคือค่าของลำดับไม่กระโดดออกไปนอกช่วงนี้อีกแล้ว)
แนวคิดนี้ถ้าเขียนให้รัดกุมมันก็นิยามการลู่เข้าของลำดับนั่นเอง ลองเอาไปเทียบกันจะให้ความหมายเดียวกัน
1.
ถ้ากำหนด $\epsilon>0$ ขึ้นมาค่านึง จะมี $N$ ซึ่งทำให้ $a_n\in (L-\epsilon,L+\epsilon)$ ทุกค่า $n=N,N+1,...$
2.
ถ้ากำหนด $\epsilon>0$ ขึ้นมาค่านึง จะมี $N$ ซึ่งทำให้ $L-\epsilon<a_n<L+\epsilon$ ทุกค่า $n\geq N$
3.
ทุก $\epsilon>0$ จะมี $N$ ซึ่งทำให้ $|a_n-L|<\epsilon$ ทุกค่า $n\geq N$
จะเห็นว่า $N$ ที่เลือกขึ้นมานี้ขึ้นอยู่กับช่วง $(L-\epsilon,L+\epsilon)$ ที่เรากำหนดขึ้น
ซึ่งช่วงนี้ก็ขึ้นอยู่กับ $\epsilon$ ว่ามีค่ามากน้อยแค่ไหน
คำว่าขึ้นอยู่กับ $\epsilon$ นี้ก็เหมือนกับเราให้ $N$(ตัวแปรตาม) เขียนอยู่ในรูปฟังก์ชันของ $\epsilon$(ตัวแปรต้น)
ถ้ายังงงลองชี้แจงมาครับ วิชานี้อธิบายเป็นคำพูดให้เข้าใจได้ยากจริงๆ
