[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MirRor

2. จงหาค่า k ที่ทำให้รากของสมการ $x^{3} + 3 x^{2} - 6x + k =0$ เป็นลำดับเลขคณิต
1)-10
2)-8
3)-6
4)2

$x^{3} + 3 x^{2} - 6x + k =0$
สมการกำลังสามมีราก 3 ราก ให้เป็น$k_1,k_2,k_3$ เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ว่า$k_1+k_2+k_3 = -3$
$k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3 = -6$
$k_1k_2k_3 = -k$

$k_1+k_2+k_3 = 3k_1+3d$
$k_1+d= -1=k_2$
$k_1+k_3= -2$........(1)

$k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3 =k_2(k_1+k_3)+k_1k_3$
$-6=2+k_1k_3$
$k_1k_3 = -8$........(2).....จริงๆทำแค่นี้ก็ได้คำตอบแล้วเพราะว่า $k_1k_2k_3 = -k$
ดังนั้น $k=-8$

จาก(1) $k_3= -2-k_1$ .....นำไปแทนใน(2)
$k_1(-2-k_1) = -8$
$k_1(2+k_1) = 8$
$k_1^2+2k_1-8=0$
$(k_1+4)(k_1-2)=0$
$k_1=2,-4$
จะได้ค่า$k_2=-4,2$ ตามลำดับ
ผมแก้สมการให้ดูเฉยๆ....เขียนเสร็จแล้วกลับขึ้นไปดูแล้วก็นึกได้ว่าตรงสมการสองก็ได้คำตอบแล้ว
สิ่งสำคัญในการแก้โจทย์ข้อนี้คือการรู้ว่ารากของสมการกับสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ในสมการพหุนามสัมพันธ์กันยังไง
ที่ผมนำมาให้ดูนั้น น้องลองกระจายจาก
$(x-k_1)(x-k_2)(x-k_3)=0$
แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ดู.....เขาเรียกว่า$Vieta's \quad Formulae$