เข้ามาเก็บตกต่อครับ
18. เท็จ ข้อความนี้จะจริงถ้าอนุกรมลู่เข้าครับ แต่ตัวอย่างค้านไม่แน่ใจว่าใช้ได้รึเปล่านะครับ กลัวคำนวณพลาด
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{mn}}$ ลู่เข้าหา $\infty$
$\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{mn}}$ ลู่ออกแบบหาลิมิตไม่ได้
20. เท็จ ตัวอย่างเช่น $f(x)=|x|$ ต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่ 0
21. จริง ถ้าอนุกรมลู่เข้าแล้วลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์เสมอ ในทางกลับกัน ถ้าลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์จะได้ว่าอัตราส่วนร่วมต้องอยู่ในช่วงเปิด (-1,1) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าด้วย
24. เดาว่าจริง ครับ ที่ยังไม่แน่ใจเพราะว่า มีเทอม $a$ โผล่มาทางด้านซ้ายของอสมการ แต่ถ้าไม่มีเทอมนี้ อสมการจริงโดย Cauchy - Schwarz inequality ครับ
25. ยังไม่แน่ใจคำตอบเหมือนกัน มีบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้ตีพิมพ์ในวารสาร American Mathematical Monthly เมื่อไม่นานมานี้ครับ แต่ผมจำรายละเอียดไม่ได้
26. เท็จ ครับ ปกติแล้ว $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}} f(x) dx$ จะหาโดยใช้นิยามของ principal value ซึ่งนิยามโดย
p.v. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f(x) dx}$
ซึ่งจากข้อนี้จะเห็นว่า $\displaystyle{ \int_{-R}^{R} \frac{1}{x} dx}$ หาค่าไม่ได้ จึงสรุปไม่ได้ว่าค่าอินทิกรัลเป็นศูนย์
27. จริง เนื่องจาก $\displaystyle{\frac{x}{1+x^2}}$ นิยามและ integrable ในช่วง $[-R,R]$ ทุกค่า $R>0$ ดังนั้นอินทิกรัลเป็นศูนย์
28. จริง แต่จำมาใช้อย่างเดียวครับ ลืมวิธีพิสูจน์ไปแล้ว
