สวัสดีครับ ผมชื่อ บิ๊ก
ปีนี้ข้อสอบคณิตยากกว่าปีที่แล้วครับ
แต่ในค่ายลอกกันได้
จากโจทย์ข้อ 5 ของคุณ GAMMA
มีเด็ก15คน
คนแรกเขียนเลข5หลักแล้วคว่ำไว้
คนที่2เปิดดูพูดว่า โอ้..เลขนี้หารด้วย2ลงตัว
คนที่3เปิดดูพูดว่า โอ้..เลขนี้หารด้วย3ลงตัว
คนที่4เปิดดูพูดว่า โอ้..เลขนี้หารด้วย4ลงตัว
คนที่5เปิดดูพูดว่า โอ้..เลขนี้หารด้วย5ลงตัว
...........................................
คนที่15เปิดดูพูดว่า โอ้..เลขนี้หารด้วย15ลงตัว
เมื่อตรวจสอบอย่างถี่ถ้วนปรากฏว่ามีคนมั่วนิ่ม2คนติดกันเลย(อ่าวเป็นงั้นไป)
ถามว่าคนแรกเขียนเลขอะไรและสองคนใดที่แสนจะมั่วนิ่ม
วิธีทำ พิจารณาจำนวนคู่
2,4,6,8,10,12,14
กรณี ถ้า 2 มั่วนิ่ม แสดงว่า 3 ต้องมั่วนิ่มด้วย (จากโจทย์) กรณีนี้จะเกิดขึ้นไม่ได้ เพราะถ้า 2 มั่วนิ่ม จำนวนคู่ทุกตัวจะต้องมั่วนิ่มไปด้วย
กรณี เลขคู่ตัวอื่น ๆ
4 = 2x2 6 = 2x3 8 = 2x4 10 = 2x5 12 = 2x6 14 = 2x7
เห็นได้ชัดว่า ถ้าเลข 2 3 4 5 6 7 ตัวใดเพียงตัวหนึ่งมั่วนิ่ม จะทำให้ 4 หรือ 6 หรือ 8 หรือ 10 หรือ 12 หรือ 14 เพียงตัวหนึ่ง มั่วนิ่มตามไปด้วย (เพราะ 2 และ 4 ไม่ติดกัน 3 และ 6 ไม่ติดกัน ...... 7 และ 14 ไม่ติดกัน)
สังเกต ถ้าเลขตัวใด ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะมากกว่า 2 ตัวคูณกัน (หมายถึง 2x3 เป็นต้น แต่ 2x2 นับเป็นตัวเดียวกัน) เช่น 10 = 2x5 แล้ว จะไม่มั่วนิ่ม
เช่น ถ้า 10 มั่วนิ่ม แสดงว่า ต้องมี เลข 2 หรือ เลข 5 ที่มั่วนิ่ม ซึ่งจากกรณีขั้นต้นได้สรุปแล้วว่าเลขทั้ง 2 ไม่สามารถ มั่วนิ่มได้ ในทำนองเดียวกันเลข 12 14 และ 15 ก็ไม่มั่วนิ่มเช่นเดียวกัน
กรณี จำนวนเฉพาะที่เหลือ ซึ่งได้แก่ 11 และ 13 เห็นได้ว่า เป็นไปไม่ได้ เพราะ 11 ติดกับ 12 หรืออาจจะเป็น 10 ซึ่งเลขทั้ง 2 มั่วนิ่มไม่ได้ เลข 13 ก็เป็นไปตามทำนองเดียวกับเลข 11
ดังนั้น เลขที่มั่วนิ่มไม่ได้ ก็ได้แก่ 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 ซึ่งก็จะเหลือเลข 8 และ 9
เห็นได้ชัดว่า 8 = 2^3 ถึงแม้ว่า 8 จะมั่วนิ่มแต่ 8 ก็จะไม่ส่งผลให้เลขอื่นมั่วนิ่มตามไปด้วย เช่น ถ้าเลขนั้น เป็น 36 เห็นได้ชัดว่า 8 หาร 36 ไม่ลงตัว แต่ 12 หาร 36 ลงตัว ที่เป็นเช่นนี้ เพราะ 8 ประกอบด้วย 2 คูณกัน 3 ตัวซึ่งเป็นตัวที่ประกอบด้วย 2 ที่มากที่สุด ในทำนองเดียวกัน 9 = 3^2 ก็เช่นเดียวกัน เพราะ 9 ประกอบด้วย 3 คูณกัน 2 ตัวซึ่งเป็นตัวที่ประกอบด้วย 3 มากที่สุด
ดั้งนั้น จึงสรุปได้ว่า เลขที่มั่วนิ่มคือ 8 และ 9
นั่นก็หมายความว่า คนแรกเขียนเลขที่หารด้วยเลข 2 ถึง 15 ลงตัวยกเว้น 8 กับ 9 ซึ่งหาได้จาก ค.ร.น.ของ 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 ซึ่งคือ 60060 ซึ่งเป็นเลขตัวเดียวที่โจทย์ต้องการที่ประกอบด้วยเลขโดด 5 หลัก
ตอบ เลขที่คนแรกเขียนคือ 60060 และสองคนที่มั่วคือ คนที่ 8 และ 9