[passer-by]

มาเก็บตกข้อที่ผมสนใจครับ

ข้อ 14 (ก) ตัวอย่าง singular matrix A ที่สอดคล้อง เช่น $ A = \bmatrix{ 2 & 1 \\ 0 & 0} $ ส่วนข้อ (ข) แค่ย้าย $2A$ ไปขวามือแล้ว take det ก็จบครับ

ข้อ 25 สมมติมัธยฐาน a และฐานนิยม b

ถ้า $ \sum (x_i-a)^2 = \sum (x_i- b)^2$ และ SD = 5 กระจายแล้วจะได้ 2 อย่างคือ

(1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ $ \frac{a+b}{2}$ และ (2) $ \frac{1}{n} \cdot \sum x^2 = 25 +ab $

ที่เหลือไม่ยากแล้วครับ

ข้อ 34

ข้อนี้เดาคำตอบสมการง่าย แต่วิธีคิดสำคัญกว่าครับ

ให้ $z_i$ แทนรากสมการ ดังนั้น จากสมการ เราได้ $ \sum z_i = \sum z_iz_j =0 \Rightarrow \sum z_i^2 =0 $

คำนวณได้ไม่ยากว่า ขนาดของ $z_i$ คือ $2553^{1/5}$ จากนั้น take sigma รากทั้ง 5 ตลอดสมการ จะได้ $$ \sum z_i^5 +a\sum z_i^2 + b\sum z_i + 5(2553i) =0 \Rightarrow \sum z_i^5 = -5(2553i)$$

เปลี่ยนรากสมการเป็นพิกัดเชิงขั้ว จะได้ $$ -5(2553i)= 2553\sum z_i^5 = \sum \cos 5\theta_i + i \sum \sin 5\theta_i $$

หลังจากเทียบส่วนจินตภาพจะได้ $ \sum \sin 5\theta_i = -5 $ แต่ว่าปกติ $ \sin 5\theta_i \geq -1 $ ดังนั้น $ \sin 5\theta _i =-1$ ทุกค่า i

แสดงว่า $ \theta_i = \frac{3\pi}{10} \,\, ,\frac{7\pi}{10} \,\, ,\frac{11\pi}{10} \,\, ,\frac{15\pi}{10} \,\, ,\frac{19\pi}{10} \,\, $

ปิดท้ายด้วยการหาค่าสูงสุด และต่ำสุดที่ไม่ใช่ 0 ของ $ |z_i-z_j| = 2| \sin \frac{\theta_i-\theta_j}{2}| $

ดังนั้นค่าสูงสุดที่โจทย์ถามคือ $2\cos 36^{\circ}$ แล้วก็เอาไปหา r,s ต่อได้แล้วครับ

ข้อ 35 ขอเสนออีกวิธีแล้วกันครับ

ให้ I แทนสิ่งที่โจทย์ต้องการหา แตกช่วงที่จะอินทิเกรตเป็น 4 ช่วง ช่วงละ $\frac{7\pi}{4}$

ที่เหลือลองไปทดตามที่ผมเขียนข้างล่างดูนะครับ

ช่วงที่ 1 ให้ $ u= x- \frac{11\pi}{2}$
ช่วงที่ 2 ให้ $ u= \frac{21\pi}{2} -x $
ช่วงที่ 3 ให้ $ u= x- 9\pi$
ช่วงที่ 4 ให้ $ u= 14\pi-x$

จากนั้นทั้ง 4 ก้อนจะให้ขอบเขตการอินทิเกรตเหมือนกัน คือ $ \frac{3\pi}{4}$ ถึง $\frac{5\pi}{2}$

นอกจากนี้ integrand ข้างใน 4 ก้อน รวมกันได้ 1 พอดิบพอดี แสดงว่า $$ I= \int_\frac{3\pi}{4}^ \frac{5\pi}{2} \,\, dx = \frac{7\pi}{4}$$