สำหรับข้อ101นั้นโดยส่วนตัวผมคิดว่าได้นะครับแต่ไม่รู้ว่าท่านอื่นเห็นว่าอย่างไร
เนื่องจากเราแบ่งมุมออกเป็น2ส่วนเท่ากันได้แล้วและ$\displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-...}$
จากข้างบนทำให้ผมสรุปออกมาเป็นทฤษฎีบทได้บทนึงหน่ะครับ
ซึ่งกล่าวว่า
ทฤษฎีบท
สำหรับมุมใดๆที่มีขนาดอยู่ระหว่าง 0 กับ 180 องศาจะสามารถแบ่งออกเป็น n ส่วนที่เท่ากันได้เสมอ
ด้วยวงเวียนและสันตรงเมื่อ n เป็นจำนวนนับใด ๆ
พิสูจน์
ให้ $p_1,p_2,...,p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 1 ถึง n ตามลำดับดังนั้น $p_1=2,p_2=3,...$
เนื่องจาก $p_k\pm1$ เป็นจำนวนประกอบที่สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของ $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ ได้
เมื่อ $2\leq k\leq n$ และ$\displaystyle{\frac{1}{p_k}=\frac{1}{p_k\pm1}\pm\frac{1}{(p_k\pm1)^2}+\frac{1}{(p_k\pm1)^3}\pm...}$
แต่เนื่องจากเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น $p_1=2$ ส่วนที่เท่ากันได้อยู่แล้ว
ทำให้เราสามารถแบ่งมุมออกเป็น p ส่วนได้เสมอเมื่อ p คือจำนวนเฉพาะใด ๆ
แต่เราทราบว่าสำหรับจำนวนประกอบใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้
$\therefore$ เราสามารถแบ่งมุมที่มีขนาดอยู่ระหว่าง 0 กับ 180 องศาออกเป็น n ส่วนที่เท่ากันได้เสมอ $Q.E.D.$
