16. วิธีที่ 1.
เนื่องจาก $\binom{n}{r} = \frac{n}{r}\binom{n-1}{r-1}$
ดังนั้น $$\sum_{r = 1}^{n}r^2 \binom{n}{r} = \sum_{r = 1}^{n}nr \binom{n-1}{r-1} = n\sum_{r = 1}^{n}r\binom{n-1}{r-1}$$$$=n\sum_{r = 1}^{n}[(r-1)+1]\binom{n-1}{r-1} = n[\sum_{r = 1}^{n}(r-1)\binom{n-1}{r-1}+\sum_{r = 1}^{n}\binom{n-1}{r-1}]$$$$=n[(n-1)2^{n-2}+2^{n-1}]$$(ประยุกต์เอกลักษณ์ $\sum_{r = 1}^{n}r\binom{n}{r} = n\cdot 2^{n-1}$)
$$=n\cdot 2^{n-2}[n-1+2] = n(n+1)2^{n-2}$$
|