อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
107. มีจำนวนเฉพาะอนันต์ตัวในลำดับ 3,7,11,...
|
อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
107. TRUE
It's sufficient to show that there're infinitely many primes of the form $ 4k+3 $
Suppose for the contrary that there're only finite number of primes in that form,say, $ p_1,p_2,\cdots p_n $
Consider $ A= 4p_1p_2\cdots p_n -1 $
It's obvious that A is odd number. So prime divisor of A must be of the form $ 4m+1 $ or $4m+3$.
But all prime divisors of A can't be of the form $ 4m+1 $, since $ (4l+1)(4n+1)=4j+1 \,\, \exists j\in N. $ When we multiply this form of divisors finitely many times, it's impossible to be $A$.
So there exists at least one prime divisor of the form $ 4m+3 $ ,which isn't equal to $ p_1,p_2,\cdots p_n $ And it gives the contradiction.
|
วิธีพิสูจน์ของคุณ passer-by ถือเป็นวิธีมาตรฐาน ที่ทั้งสั้นและง่ายที่สุดแล้วล่ะครับ แต่ผมอยากให้ลองดูวิธีแบบแปลกๆต่อไปนี้ ที่ไม่ค่อยได้พบเห็นกันบ้างนะครับ
สมมติให้มีจำนวนเฉพาะในรูป $4k+3$ อยู่จำกัด ดังนั้นจะต้องมีตัวที่ใหญ่ที่สุด สมมติให้ชื่อ $p$
พิจารณาจำนวน $2^p-1$ จะเห็นว่ามันอยู่ในรูป $4k+3$ ดังนั้นจะต้องมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยตัวนึง ที่อยู่ในรูป $4k+3$ สมมติให้ชื่อ $q$
จะเห็นว่า $2^p\equiv1\pmod q$ ดังนั้น $p$ จึงเป็น order ของ $2$ modulo $q$ แต่จาก Fermat's Little Theorem เรารู้ว่า $2^{q-1}\equiv1\pmod q$ ดังนั้น $p\mid q-1$ นั่นคือ $q>p$ จึงเกิดข้อขัดแย้งกับที่เราสมมติไว้ว่า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะในรูป $4k+3$ ที่ใหญ่ที่สุด
เทคนิคนี้สามารถขยายไปใช้พิสูจน์ว่า มีจำนวนเฉพาะในรูป $8k+7$ อยู่เป็นอนันต์ ได้ด้วยครับ