เข้ามา update กระทู้ครับ ยังมีคำถามตกค้างอยู่หลายข้อ
71. $\displaystyle{ f(x) = \cases{e^{-1/x^2} & , x>0 \cr 0 & , x\leq 0} }$ เป็น smooth function (มีอนุพันธ์ทุกอันดับ)
79. หาก $F:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่สอดคล้องกับ
$$\displaystyle{F(x)=F(ax)+F(bx),\quad\forall x\in(0,\infty)}$$
สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b$ ที่ $a+b<1$ จริงหรือไม่ที่
$$\displaystyle{F(x)=0,\quad\forall x\in(0,\infty)}$$
Hint: โปรดชำเลืองดูกระทู้มาราธอนเพื่อนบ้าน
83. Let $I\subseteq R$ be an interval and let $f:I\to R$ be strictly monotone and continuous on $I$. Then $f$ is an injective fuction on $I$ : Moreover, the inverse of $f$ is strictly monotone and continuous on interval $f(I)$
86. คำตอบของสมการ $x^2+ax+b=0; \, a,b \in Z$ ที่มี discriminant ไม่เป็นลบ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนต่อเนื่องเชิงเดียวได้เสมอ (ดูข้อ 80 ประกอบ)
87. ให้ $f : (a,b)\to R$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะได้ว่า $f$ เป็น strictly monotone function ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
90. มีจำนวนจริง $a$ เพียงสามค่าที่ทำให้สมการ $(x+1)^2=|x+a|$ มีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบ
100. ในการแข่งฟุตบอลครั้งหนึ่ง จากจำนวนผู้เข้าชมในสนามทั้งหมด มีเด็กอายุไม่ต่ำกว่าสามขวบแต่ไม่เกินสิบขวบอยู่ $5000$ คน โดยปราศจากข้อมูลทางสถิติอื่นๆ เราจะแน่ใจได้หรือไม่ว่าในบรรดาเด็กเหล่านี้ จะมีเด็กเพศเดียวกันอย่างน้อยสองคนที่เกิดในวันและปีเดียวกัน (กล่าวคือ อายุเท่ากัน)
102. $\displaystyle{ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} }$
108. มีรูปทรงสามมิติที่มีปริมาตรเป็นศูนย์ มีด้านเดียว กำหนดทิศไม่ได้ และเมื่อแบ่งครึ่งก็ได้แถบสองแถบที่มีด้านเดียว (Comment : แถบสองแถบที่เกิดจากการแบ่งครึ่งรูปทรงสามมิติดังกล่าวจะไม่แยกจากกัน แต่จะคล้องกันเหมือนห่วงโซ่ ภาษา Topology (Knot Theory) เรียกว่า Link
)
115. ปัญหาโรงแรมฮิลเบิร์ต มีวิธีแก้โดยที่แขกที่อยู่ในห้องเดิมไม่ต้องย้ายห้องเลย และแขกที่มาใหม่ก็ได้ห้องเสมอ
116. สมการ Diophantine: $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ อยู่จำกัด
แถมให้อีกสามข้อครับ
118. พื้นที่วงรีที่มีความยาวแกนเอกเท่ากับ $a$ และ ความยาวแกนโทเท่ากับ $b$ คือ $\pi ab$ ตารางหน่วย
119. พื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟของความสัมพันธ์ $|x|+|y|=1$ คือ $2$ ตารางหน่วย
120. ระหว่างสามเหลี่ยมกับวงกลมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่มากกว่าเสมอ