จาก $cos(\theta )=\frac{(u)\cdot (v)}{\left|\,u\right|\left|\,v\right| }$
ได้ $2u\cdot{v}=2$
ต้องการหา $cos(\theta )=\frac{(u-v)\cdot (u+v)}{\left|\,u-v\right|\left|\,u+v\right| }$
เราหา $\left|\,u-v\right|$ จาก $ {\left|\,u-v\right|}^2={\left|\,u\right|}^2-2u\cdot{v}+{\left|\,v\right|}^2$
ได้ $ {\left|\,u-v\right|}^2={\left|\,1\right|}^2-2(1)+{\left|\,2\right|}^2 $
$ {\left|\,u-v\right|}^2=3 $ ได้ $ {\left|\,u-v\right|}=\sqrt{3} $
และ $\left|\,u+v\right|$ จาก $ {\left|\,u+v\right|}^2={\left|\,u\right|}^2+2u\cdot{v}+{\left|\,v\right|}^2$
ได้ $ {\left|\,u+v\right|}^2={\left|\,1\right|}^2+2(1)+{\left|\,2\right|}^2 $
$ {\left|\,u+v\right|}^2=7 $ ได้ $ {\left|\,u+v\right|}=\sqrt{7} $
จะได้ $cos(\theta )=\frac{(u-v)\cdot (u+v)}{\left|\,u-v\right|\left|\,u+v\right| }$
$cos(\theta )=\frac{{\left|\,u\right|}^2-{\left|\,v\right|}^2}{\left|\,u-v\right|\left|\,u+v\right| }$
$cos(\theta )=\frac{{\left|\,1\right|}^2-{\left|\,2\right|}^2}{(\sqrt{3})(\sqrt{7}) }$
$cos(\theta )=\frac{-3}{\sqrt{21} }$
ได้ $\theta=arccos(\frac{-3}{\sqrt{21} } )$