มาต่อปัญหาที่คาใจครับ กำลัง งงๆ
124. Assume that $ f : (-a,a) - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R} $, Then
\[ (a.) \; \; \; \lim_{x\rightarrow 0 } f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(\sin x) = L \]
\[ (b.) \; \; \; \lim_{x\rightarrow 0 }f(x)=L \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(|x|) = L \]
125. Assume that $ f : (-a,a) - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}^{+} $, Then
\[ \lim_{x\rightarrow 0 } \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) = 2 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 1 \]
ข้อนี้เป็นข้อสงสัยครับ อยากถาม
126. Assume that $ f :\mathbb{R}- \{a \} \rightarrow \mathbb{R} $, Then
\[ \lim_{x\rightarrow a} \left( f(x) + \frac{1}{|f(x)|}\right) = 0 \] Determine $\lim_{x\rightarrow a} f(x) $
คำถามคือ ถ้าเราสมมติว่าลิมิตที่ต้องการมีจริงได้เลยรึเปล่า? ถ้าไม่ได้เราจะแสดงอย่างไรดีครับว่าลิมิตมีจริงก่อน
127. \[ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \; \; \text{converges if and only if} \; \; \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| < \infty \]
128. สืบเนื่องจากข้อที่ผมตอบผิด อิอิ คือเราทราบแล้วว่า
\[ \lim_{x\rightarrow a}g(x)=b, \; \lim_{x\rightarrow b}f(x)=c \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}f(g(x)) = c \; \; ........(*)\]
ไม่เป็นจริง ตัวอย่างค้านดูได้ในกระทู้
ข้อสอบป.โทจุฬาฯ และเราก็ทราบว่าถ้า $f,g$ ต่อเนื่อง ประโยคนี้จะเป็นจริง แต่ จากทฤษฎีบทที่ว่า
\[ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = L \Rightarrow \; \; \text{for all sequences} \; \{x_n\} \text{such that} \; \; x_n\rightarrow a, \; \; \text{then} \;\; f(x_n)\rightarrow L\]
ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้ใช้สมบัติความต่อเนื่อง คำถามก็คือ จะมีเงื่อนไขที่ เบากว่าความต่อเนื่องของ $f,g$ ที่ทำให้ (*) เป็นจริงรึเปล่าครับ