อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
71. $\displaystyle{ f(x) = \cases{e^{-1/x^2} & , x>0 \cr 0 & , x\leq 0} }$ เป็น smooth function (มีอนุพันธ์ทุกอันดับ)
87. ให้ $f : (a,b)\to R$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะได้ว่า $f$ เป็น strictly monotone function ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
90. มีจำนวนจริง $a$ เพียงสามค่าที่ทำให้สมการ $(x+1)^2=|x+a|$ มีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบ
119. พื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟของความสัมพันธ์ $|x|+|y|=1$ คือ $2$ ตารางหน่วย
120. ระหว่างสามเหลี่ยมกับวงกลมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่มากกว่าเสมอ
|
ได้เวลาเฉลยแล้วครับ ขอเฉลยโจทย์ในส่วนที่เป็นคำถามของผมก่อนนะครับ เพราะช่วงนี้ผมก็ไม่ค่อยได้คิดอย่างอื่นเลย บ้าโจทย์อสมการอย่างหนัก
คำตอบสำหรับทุกข้อ คือ
จริง ครับ
71. ถ้า $x\neq 0$ จะเห็นว่า $f$ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ
ถ้า $x=0$ จะได้ว่า $f^{(n)}(0)=0$ ทุกค่า $n$ โดยกฎของ L'Hospital
ข้อนี้เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับแต่ไม่เป็น Analytic function ครับ
87. ถ้า $f$ เป็น strictly monotone function แล้ว เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1
ต่อไปสมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 โดยไม่เสียนัยทั่วไปจะพิสูจน์ว่า $f$ เป็น strictly monotone increasing function
สมมติในทางขัดแย้งว่า $f$ ไม่เป็น strictly monotone increasing function
ดังนั้นจะมีจุดสามจุด $x,y,z$ ซึ่ง $x<y<z$ แต่ $f(x),f(z)<f(y)$ หรือ $f(x),f(z)>f(y)$
จะขอพิสูจน์กรณีแรกเท่านั้นนะครับ
สมมติว่า $f(x)<f(z)<f(y)$ (กรณี $f(z)<f(x)$ ก็ทำเหมือนกัน)
โดย Intermediate Value Theorem เราจะได้ว่ามี $c\in (x,y)$ ซึ่ง $f(c)=f(z)$
ดังนั้น $c=z$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 จึงเกิดข้อขัดแย้ง
Note : ผมละรายละเอียดหยุมหยิมไว้เยอะทีเดียวครับ ถ้าไม่เข้าใจตรงส่วนไหนก็ถามต่อได้ครับ
90. เราทราบว่า $$(x+1)^2=|x+a| \Leftrightarrow (x+1)^4=(x+a)^2 \Leftrightarrow (x^2+x+1-a)(x^2+3x+1+a)=0$$
การที่สมการนี้จะมีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบได้นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นสามกรณี คือ
กรณีที่ 1 $x^2+x+1-a$ มีรากซ้ำ แต่ $x^2+3x+1+a$ ไม่มีรากซ้ำ
เราจะได้ว่า $1^2-4(1)(1-a)=0 \Rightarrow a = 3/4$
กรณีที่ 2 $x^2+3x+1+a$ มีรากซ้ำ แต่ $x^2+x+1-a$ ไม่มีรากซ้ำ
เราจะได้ว่า $3^2-4(1)(1+a)=0 \Rightarrow a = 5/4$
กรณีที่ 3 ทั้งสองสมการไม่มีรากซ้ำ แต่มีรากร่วมกันอยู่หนึ่งราก สมมติว่าเป็น $b$
เราจะได้ว่า
$b^2+b+1-a=0$
$b^2+3b+1+a=0$
ดังนั้น $b=-a$
เราจึงได้ว่า $a^2-2a+1=0 \Rightarrow a = 1$
ดังนั้น $a=\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$
119. อาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟของความสัมพันธ์ $|x|+|y|=1$ คืออาณาบริเวณรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด ที่มีจุดยอดอยู่ที่ $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ 2 ตารางหน่วย
120. สมมติว่าสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเป็น $a,b,c$ และวงกลมมีรัศมี $r$
ให้ $S=\frac{a+b+c}{2}$
เนื่องจากสามเหลี่ยมมีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับวงกลมเราจะได้ $2S=2\pi r \Rightarrow S = \pi r$
โดย Heron's Formula เราจะได้พื้นที่สามเหลี่ยม คือ
$$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$$
พื้นที่วงกลม คือ
$$\pi \Big(\frac{S}{\pi}\Big) ^2 = \frac{S^2}{\pi}$$
เราจะพิสูจน์ว่า $$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}< \frac{S^2}{\pi}$$
โดยอสมการ AM-GM เราได้ว่า
$$\sqrt[4]{S(S-a)(S-b)(S-c)}\leq \frac{S+(S-a)+(S-b)+(S-c)}{4}=\frac{S}{2}$$
ดังนั้น
$$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\leq \frac{S^2}{4} < \frac{S^2}{\pi}$$
