[Amankris]

$1).$ คาดว่าคงพิมพ์ผิด แก้ให้หน่อยก็ดีนะครับ
$s=(500)(1001)$
$A=1^{2007}+2^{2007}+...+1000^{2007}$
$B=1^{2009}+2^{2009}+...+1000^{2009}$

Outline

$500|[i^{2007}+(1000-i)^{2007}]--->500|A$
$1001|[i^{2007}+(1001-i)^{2007}]--->1001|A$
$s|A$

$500|[i^{2009}+(1000-i)^{2009}]--->500|B$
$1001|[i^{2009}+(1001-i)^{2009}]--->1001|B$
$s|B$

$gcd(s,A,B)=s$

$2).$

$3).$

Outline

$x^3\equiv 0,\pm 1(mod7)$
$a^3+b^3\equiv 0,\pm 1,\pm 2(mod7)$

ตอบ ตัวเลือก 4 (เหลือแค่ต้องแสดงว่า อีกสามตัวเลือกจะมี a, b ที่สอดคล้อง)

$4).$
$U=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

Outline

$A=\left\{1,4,7\right\}$
$B=\left\{2,5,8\right\}$
$C=\left\{3,6,9\right\}$

พิจารณา $X=\left\{\left\{a,b\right\}\subset U|[a\not= b]\wedge [3|a+b]\right\}$ //ดูสองตัวที่เหลือ ผลรวมต้องหารด้วยสามลงตัว
$[a\in A\wedge b\in B]$ $\vee [\left\{a,b\right\}\subset C]$ //ตัวนึงอยู่ใน A ตัวนึงอยู่ใน B หรือไม่ก็อยู่ใน C ทั้งคู่
$|X|=\binom{3}{1}\binom{3}{1}+\binom{3}{2}$ //จำนวนวิธีที่เลือก a,b

$5).$

Outline

$x=2$ $;$ $(4)(7)(9)|m$
$x=5$ $;$ $(7)(10)(12)|m$
$x=7$ $;$ $(9)(12)(14)|m$
$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7|m$

$m\geqslant 7560$ (เหลือแค่แสดงว่ามี u(x) และ v(x) ที่สอดคล้อง)