[Amankris]

ลองทำดูแล้ว ก็สนุกดีนะ
$(x^2-y^2)^2=1+16y$ ---(*)

case $y\leqslant -1$ ไม่มีคำตอบ
case $y=1,2,4$ ไม่มีคำตอบ
case $y=0$ ได้ $(x,y)=(1,0),(-1,0)$
case $y=3$ ได้ $(x,y)=(4,3),(-4,3)$
case $y\geqslant 5$

Outline

ได้ว่า $(2y-4)^2>17$ ดังนั้น $4y^2>16y+1$

จาก (*) ; $(x^2-y^2)^2<4y^2$

$-2y<x^2-y^2<2y$

$(y-2)^2<y^2-2y<x^2<y^2+2y<(y+1)^2$

$(y-2)^2<x^2<(y+1)^2$

แต่ $x^2\not= y^2$ ดังนั้น $x^2=(y-1)^2$

แทนใน (*) ; $(2y-1)^2=1+16y$ นั่นคือ $y=5$ และ $x=4,-4$

$(x,y)=(4,5),(-4,5)$