อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
67. Let $f:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ be an increasing function with the property that there exists $a\in(0,1)$ so that $$\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^{ax} f(t)\,dt,\quad\forall\,x\in[0,\infty).$$ Prove that $f(x)=0$. for any $x\in[0,\infty)$
|
จะเห็นว่าคำว่า "increasing function" ในที่นี้ต้องหมายถึง monotonic increasing function เพราะมิฉะนั้น $f(x)=0$ จะไม่สามารถเป็นคำตอบได้น่ะครับ (คำว่า "increasing function" มีได้ 2 ความหมาย บางคนก็หมายถึง monotonic increasing บางคนก็หมายถึง strictly increasing ตัวผมเองจึงตัดปัญหาโดยเขียนให้ชัดเจนลงไปทุกครั้งว่าเป็นอันไหนซะเลย)
แต่ว่าข้อความในข้อ 67. ไม่เป็นจริงครับ ยกตัวอย่างเช่น $$f(x)= \cases{-1 & ,x=0 \\ 0 & ,x>0}$$ ก็มีคุณสมบัติสอดคล้องตามที่ต้องการเช่นกันครับ