อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
67. Let $f:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ be an increasing function with the property that there exists $a\in(0,1)$ so that $$\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^{ax} f(t)\,dt,\quad\forall\,x\in[0,\infty).$$ Prove that $f(x)=0$. for any $x\in(0,\infty)$
|
ผมพิสูจน์ โจทย์ข้อ 67. ฉบับแก้ไข โดยวิธีพื้นๆดังนี้ครับ
จากที่โจทย์ให้มา จะได้ว่า $$ \int_{ax}^x f(t)\,dt= \int_0^x f(t)\,dt- \int_0^{ax} f(t)\,dt=0, \quad \forall\,x\in[0,\infty) $$ จะเห็นว่าถ้า $f(x)=0$ สำหรับทุก $x>0$ แล้ว $f$ จะมีสมบัติสอดคล้องกับที่ต้องการ แต่ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่มี $x_0>0$ ที่ทำให้ $f(x_0)\ne0$ เราจะแยกพิจารณาเป็น 2 กรณีคือ
กรณีที่ 1: $f(x_0)>0$
เนื่องจาก $f$ เป็น monotonic increasing function บน $[0,\infty)$ ดังนั้น $f(x)>0$ สำหรับทุก $x\ge x_0$ และเราจึงได้ว่า $$\int_{a(x_0/a)}^{x_0/a} f(t)\,dt= \int_{x_0}^{x_0/a} f(t)\,dt >0$$ แสดงว่าในกรณีนี้ $f$ ไม่มีสมบัติตามที่ต้องการ
กรณีที่ 2: $f(x_0)<0$
เนื่องจาก $f$ เป็น monotonic increasing function บน $[0,\infty)$ ดังนั้น $f(x)<0$ สำหรับทุก $x\in[0,x_0]$ และเราจึงได้ว่า $$\int_{ax_0}^{x_0} f(t)\,dt<0$$ แสดงว่าในกรณีนี้ $f$ ไม่มีสมบัติตามที่ต้องการเช่นกันครับ