[M@gpie]

เฉลยข้อ 68. ครับ เดี๋ยวกระทู้เดี้ยงไปซะก่อน คือจริงๆเป็นข้อผิดพลาดเล็กๆน้อยๆ ครับ ซึ่งถ้าไม่คิดมากเนี่ยก็ไม่มีปัญหาอะไร

\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; \; x>0& ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
\ln (\lim_{x \rightarrow \infty} y) &=& 1 & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(5)
\end{array}\]

จากวิธีทำนะครับ
ขั้นตอนที่ (1) สมมติ y ขึ้นมาถูกต้องไม่มีปัญหา
ขั้นตอนที่ (2) ใส่ $\ln$ ก็ไม่มีปัญหายังคงถูกต้อง
ขั้นตอนที่ (3) ใส่ ลิมิต ยังคงถูกต้องเพราะเราสามารถหาค่าลิมิตทางขวามือด้วยกฏของโลปิตาลได้
ขั้นตอนที่ (4) นี่แหละครับที่ผิด ถึงแม้ว่า $\ln$ จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง สามารถสลับลิมิตเข้าไปได้ แต่เพราะว่าเริ่มต้นเราเพียงสมมติให้ y เป็นฟังก์ชัน ซึ่งไม่ทราบว่ามีลิมิตรึเปล่า?? การสลับลิมิตเข้าไปไม่แน่ว่า y จะมีลิมิต ทำให้ขั้นตอนที่ (5) ก็ผิดไปด้วย
ที่ถูกต้องควรจะเป็นแบบนี้ครับ

\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; \; x>0& ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
e^{\lim_{x \rightarrow \infty}\ln y} &=& e & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\ln y} &=& e & ..........(5) \\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(6)
\end{array}\]

ในหนังสือส่วนใหญ่มักจะเขียนจาก (3) แล้วก็ไป (6) เลย แต่บางเล่มก็บอกเพียงว่าใช้ exponential function เท่านั้นแต่ไม่ได้พูดถึงจุดนี้ คงเพราะว่ามันรายละเอียดยิบย่อยเกินไป